Question

20．（1）感知：如圖，分別以△ABC的三邊為邊長，在BC邊的同側分別作三個等邊三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，連接DE、EF，試猜想四邊形ADEF的形狀，并證明你的猜想．
（2）應用：當△ABC中有AB=AC時，四邊形ADEF的形狀是菱形．
（3）探究：①四邊形ADEF是否隨著△ABC形狀的改變而永遠存在，簡要說明理由；
②如果四邊形ADEF是正方形，則△ABC應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質推出∠BCE=∠FCA=60°，求出∠BCA=∠FCE，證△BCA≌△ECF，推出AD=EF=AB，同理得出DE=AF，即可得出答案；
（2）根據(jù)菱形的判定定理即可得到結論；
（3）①當∠BAC=60°時，以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形不存在，由∠BAC=60°，∠BAD=60°，∠CAF=60°，于是得到點D、A、F共線，即可得到四邊形ADEF是否隨著△ABC形狀的改變而永遠存在；
②當∠BAC=150°且AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°時，四邊形ADEF是正方形，根據(jù)正方形的判定定理判斷即可．

解答 解：（1）四邊形ADEF是平行四邊形．
∵等邊三角形BCE和等邊三角形ABD，
∴BE=BC，BD=BA，
又∵∠DBE=60°-∠ABE，∠ABC=60°-∠ABE，
∴∠DBE=∠ABC．
在△BDE和△BCA中$\left\{\begin{array}{l}{BE=BC}\\{∠DBE=ABC}\\{BD=BA}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BCA，
∴DE=AC，
∵在等邊三角形ACF中，AC=AF，
∴DE=AF，
同理DA=EF，
∴四邊形ADEF是平行四邊形；

（2）當AB=AC時，四邊形ADEF是菱形；
理由：∵AB=AC，
∴AD=AF，
∴?ADEF是菱形．

（3）①當∠BAC=60°時，以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形不存在，
理由：∵∠BAC=60°，
∵∠BAD=60°，∠CAF=60°，
∴點D、A、F共線，
∴四邊形ADEF是否隨著△ABC形狀的改變而永遠存在；

②當∠BAC=150°且AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°時，四邊形ADEF是正方形，
理由：∵∠BAC=150°，∠BAD=∠CAF=60°，
∴∠DAF=360°-150°-60°-60°=90°，
∵AB=AC，
∴AD=AF，
∴?AFED是正方形．

點評 本題考查了對平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定的理解和運用，同時也運用了等邊三角形性質和全等三角形的性質和判定，題目較好，有一定的難度．