Question

13．如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠ABC=∠ADC=90°，點(diǎn)E、F分別在線段BC、CD上，∠EAF=30°，連接EF．
（1）如圖2，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到△A′B′E′（A′B′與AD重合），那么
①∠E′AF度數(shù)30°②線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系BE+DF=EF
（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段BC、CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)?zhí)骄烤�段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，判定△AEF≌△AE′F，進(jìn)而根據(jù)線段的和差關(guān)系得出結(jié)論；
（2）先在BE上截取BG=DF，連接AG，構(gòu)造△ABG≌△ADF，進(jìn)而利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，判定△GAE≌△FAE，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系得出結(jié)論．

解答 解：（1）①如圖2，

將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到△A′B′E′，則
∠1=∠2，BE=DE′，AE=AE′，
∵∠BAD=60°，∠EAF=30°，
∴∠1+∠3=30°，
∴∠2+∠3=30°，即∠FAE′=30°
②由①知∠EAF=∠FAE′，
在△AEF和△AE′F中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE′}\\{∠EAF=∠FAE′}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF=E′F，即EF=DF+DE′，
∴EF=DF+BE，即線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為BE+DF=EF，
故答案為：①30°；②BE+DF=EF；

（2）如圖3，在BE上截取BG=DF，連接AG，

在△ABG和△ADF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADF}\\{BG=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG=∠DAF，且AG=AF，
∵∠DAF+∠DAE=30°，
∴∠BAG+∠DAE=30°，
∵∠BAD=60°，
∴∠GAE=60°-30°=30°，
∴∠GAE=∠FAE，
在△GAE和△FAE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=FE，
又∵BE-BG=GE，BG=DF，
∴BE-DF=EF，
即線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為BE-DF=EF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題的關(guān)鍵．