Question

15．閱讀課本材料，解答后面的問(wèn)題．
折紙與證明
折紙，常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（圖1），怎樣證明∠C＞∠B呢？
把AC沿∠A的平分線AD翻折，因?yàn)锳B＞AC，所以，點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)C′處（圖2）．于是，由∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．
在△ABC中，∠B=2∠C，點(diǎn)D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AD滿足某種條件時(shí)，探討在線段AB、BD、CD、AC四條線段中，某兩條或某三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系．
（1）如圖3，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，求證：AB+BD=DC；
（2）如圖4，當(dāng)AD是∠BAC的角平分線時(shí)，寫(xiě)出AB、BD、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）在DC上截取DE=BD，連接AE，證明CE=AB即可；
（2）在AC上截取AF=AB，連接DF，證明CF=BD即可；

解答 解：（1）如圖3，在DC上截取DE=BD，連接AE，

∵AD⊥BC，
∴AB=AE，∠ABD=∠AED，
∵∠ABD=2∠C，
∴∠AED=2∠C，
∵∠AED=∠C+∠EAC，
∴∠C=∠EAC，
∴EC=AE=AB，
∴CD=DE+EC=AB+BD；
（2）AB+BD=AC．
如圖4，在AC上截取AF=AB，連接DF，

∵AD是∠BAC的角平分線，
∴∠BAD=∠FAD，
在△ABD和△AFD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠BAD=∠FAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AFD（SAS），
∴∠AFD=∠B=2∠C，BD=DF，
∵∠AFD=∠C+∠FDC，
∴∠FDC=∠C，
∴FC=FD=BD，
∴AC=AF+FC=AB+BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度適中．在證明線段和差關(guān)系等式時(shí)，往往采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，截長(zhǎng)就是將長(zhǎng)的那條線段一分為二，并讓其中一條等于兩條短線段當(dāng)中的一條，這樣就只需證明剩下的兩條線段對(duì)應(yīng)相等即可；補(bǔ)短就是將兩條短線段拼接在一起形一條長(zhǎng)線段，然后只需證明兩條長(zhǎng)線段相等即可．截長(zhǎng)補(bǔ)短體現(xiàn)的是“分”與“合”的不同思維，但最終的效果是一致的．