Question

10．如圖，AB為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，BC⊥PB于點(diǎn) B，OC為⊙O的半徑．
（1）求證：CA平分∠OCB；
（2）若BC=8，tan∠ACB=$\frac{3}{4}$，求⊙O的半徑；
（3）將射線AB沿直線AC翻折，交于點(diǎn)D，求弦AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OA，如圖1，根據(jù)切線的性質(zhì)得OA⊥AB，而BC⊥PB，則可判斷OA∥BC，所以∠OAC=∠ACB，加上∠OCA=∠OAC，所以∠OCA=∠ACB；
（2）過C點(diǎn)作直徑CE，連結(jié)AE，如圖1，在Rt△ACB中，利用正切得定義可計(jì)算出AB=6，再利用勾股定理計(jì)算出AC=10，則利用余弦定義得到cos∠OCA=cos∠ACB=$\frac{4}{5}$，接著根據(jù)圓周角定理得到∠CAE=90°，利用余弦的定義可計(jì)算出CE=$\frac{25}{2}$，于是可得到⊙O的半徑；
（3）如圖2，CE為直徑，AD交CE于點(diǎn)F，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠DAC=∠CAB，則根據(jù)“ASA”可判斷△ACF≌△ACB，得到∠CEA=∠B=90°，AF=AB=6，再根據(jù)垂徑定理得到AF=DF，所以AE=2AF=12．

解答 （1）證明：連結(jié)OA，如圖1，
∵AB為⊙O的切線，
∴OA⊥AB，
∵BC⊥PB，
∴OA∥BC，
∴∠OAC=∠ACB，
又∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠ACB，
即AC平分∠OCB；
（2）解：過C點(diǎn)作直徑CE，連結(jié)AE，如圖1，
在Rt△ACB中，∵tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴AB=$\frac{3}{4}$×8=6，
∴AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠OCA=∠ACB，
∴cos∠OCA=cos∠ACB=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，
∵CE為直徑，
∴∠CAE=90°，
∴cos∠ECA=$\frac{AC}{CE}$=$\frac{4}{5}$，
∴CE=$\frac{5}{4}$×10=$\frac{25}{2}$，
∴⊙O的半徑為$\frac{25}{4}$；
（3）解：如圖2，CE為直徑，AD交CE于點(diǎn)F，
∵射線AB沿直線AC翻折得到弦AD，
∴∠DAC=∠CAB，
在△ACF和△ACB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCA=∠BCA}\\{AC=AC}\\{∠FAC=BAC}\end{array}\right.$
∴△ACF≌△ACB，
∴∠CEA=∠B=90°，AF=AB=6，
∴CE⊥AD，
∴AF=DF，
∴AE=2AF=12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了解直角三角形和折疊的性質(zhì)．