Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，交BC于點E，CD⊥AB于點D，EF⊥AB于點F，CD交AE于點G，CF交AE于點O．求證：四邊形CGFE是菱形．

Answer 1

分析 根據(jù)全等三角形的判定定理HL進(jìn)行證明Rt△AEG≌Rt△AEC（HL），得到GE=EC；根據(jù)平行線EG∥CD的性質(zhì)、∠BAC平分線的性質(zhì)以及等量代換推知∠FEC=∠CFE，易證CF=CE；從而根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)行判斷．

解答 證明：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥EC．
又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的平分線，
∴GE=CE．
在Rt△AEG與Rt△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{GE=CE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；
∴GE=EC，
∵CD是AB邊上的高，
∴CD⊥AB．
又∵EG⊥AB，
∴EG∥CD，
∴∠CFE=∠GEA．
又由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，
∴∠GEA=∠CEA，
∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∴GE=EC=FC．
又∵EG∥CD，即GE∥FC，
∴四邊形CGFE是菱形．

點評 本題考查了菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點．菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分．