Question

17．如圖，在△ABC中，AB=AC，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，以AC為斜邊作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，則下列結(jié)論不正確的是（　　）

• A． ∠ECD=112.5°
• B． DE平分∠FDC
• C． ∠DEC=30°
• D． AB=$\sqrt{2}$CD

Answer 1

分析 由AB=AC，∠CAB=45°，根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理求出∠B=∠ACB=67.5°．由Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACD=45°，根據(jù)等角對(duì)等邊得出AD=DC，那么∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，從而判斷A正確；
根據(jù)三角形的中位線定理得到FE=$\frac{1}{2}$AB，F(xiàn)E∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得到FD=$\frac{1}{2}$AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，等量代換得到FE=FD，再求出∠FDE=∠FED=22.5°，進(jìn)而判斷B正確；
由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC-∠FED=45°，從而判斷C錯(cuò)誤；
在等腰Rt△ADC中利用勾股定理求出AC=$\sqrt{2}$CD，又AB=AC，等量代換得到AB=$\sqrt{2}$CD，從而判斷D正確．

解答 解：∵AB=AC，∠CAB=45°，
∴∠B=∠ACB=67.5°．
∵Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，
∴∠ACD=45°，AD=DC，
∴∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，故A正確，不符合題意；
∵E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，
∴FE=$\frac{1}{2}$AB，F(xiàn)E∥AB，
∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．
∵F是AC的中點(diǎn)，∠ADC=90°，AD=DC，
∴FD=$\frac{1}{2}$AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，
∵AB=AC，
∴FE=FD，
∴∠FDE=∠FED=$\frac{1}{2}$（180°-∠EFD）=$\frac{1}{2}$（180°-135°）=22.5°，
∴∠FDE=$\frac{1}{2}$∠FDC，
∴DE平分∠FDC，故B正確，不符合題意；
∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，
∴∠DEC=∠FEC-∠FED=45°，故C錯(cuò)誤，符合題意；
∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，
∴AC=$\sqrt{2}$CD，
∵AB=AC，
∴AB=$\sqrt{2}$CD，故D正確，不符合題意．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形中位線定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．