Question

如圖，拋物線y=-

1

3

x²+

2

3

x+3交y軸于點A，對稱軸為直線l，點A關于直線l的對稱點為點B，AB與直線l相交點C，直線y=

3

4

x+m與拋物線在第三象限內交于點D，與y軸交于點E，連接DC交y軸于點F，且CF：DF=1：4
（1）求點B的坐標；
（2）求m的值；
（3）若N為平面直角坐標系內的點，在直線y=

3

4

x+m上市否存在點M，使得以點O，E，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用二次函數(shù)對稱性以及對稱軸公式進而求出B點坐標即可；
（2）首先得出△DFG∽△CFA，進而得出DG的長，得出D點坐標，代入解析式即可得出m的值；
（3）設點M（x，

3

4

x-2），表示出OM²，EM²的值，利用①當OE為菱形的對角線時，②當OE為菱形的邊時，若EM=OE=2以及若OM=OE=2分別得出M點的坐標即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

3

x²+

2

3

x+3交y軸于點A，
∴A（0，3），
∵拋物線的解析式為：y=-

1

3

x²+

2

3

x+3，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
∵點A關于直線l的對稱點為點B，
∴點B的坐標為：（2，3）；

（2）過點D作DG⊥y軸于點E，則∠DGF=∠CAF=90°，
∵∠DFC=∠CFA，
∴△DFG∽△CFA，
∴

DG

AC

=

DF

CF

，
由（1）得，AC=1，
又∵CF：DF=1：4，
∴

DG

1

=

4

1

，
∴DG=4，
∴點D的坐標為：（-4，-5），
∵直線y=

3

4

x+m過點D（-4，-5），
∴-5=

3

4

×（-4）+m，
解得：m=-2；

（3）由（2）得直線y=

3

4

x+m的解析式為：y=

3

4

x-2，
點E的坐標為：（0，-2），OE=2，
設點M（x，

3

4

x-2），則OM²=

25

16

x²-3x+4，
EM²=x²+[

3

4

x-2-（-2）]²=

25

16

x²，
①當OE為菱形的對角線時，點M在線段OE的中垂線上，則點M的縱坐標為：-1，
∴

3

4

x-2=-1，
解得：x=

4

3

，
即點M的坐標為：（

4

3

，-1）；

②當OE為菱形的邊時，若EM=OE=2，
則

25

16

x²=4，解得：x₁=

8

5

，x₂=-

8

5

，
代入y=

3

4

x-2得，y₁=-

4

5

，y₂=-

16

5

，
即點M的坐標為：（

8

5

，-

4

5

）或（-

8

5

，-

16

5

），
若OM=OE=2，
則

25

16

x²-3x+4=4，
解得：x₃=

48

25

，x₄=0（不合題意舍去），
代入y=

3

4

x-2得，y₃=-

14

25

，
∴點M的坐標為：（

48

25

，-

14

25

），
綜上所述，存在符合條件的點M，其坐標為（

4

3

，-1），（

8

5

，-

4

5

），（-

8

5

，-

16

5

），（

48

25

，-

14

25

）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及菱形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．