Question

如圖1，Rt△AOB中OA=OB=6，以O為圓心作一半徑為3的圓，點C為⊙O上一動點，連接OC，過O點作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點D，∠COD繞圓心O旋轉．

（1）當OC∥AB時，∠BOC的度數(shù)為

 

；
（2）連接AD，當OC∥AD時，如圖2，求證：直線BC為⊙O的切線；
（3）連接AC，BC，當點C在⊙O上運動到什么位置時，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積的最大值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,動點型,數(shù)形結合,分類討論

分析：（1）利用C點位置不同分類討論得出當OC∥AB時求出∠BOC的度數(shù)；
（2）首先得出△BOC≌△AOD（SAS），進而得出OC⊥BC，即可得出答案；
（3）利用當點C在⊙O上運動到∠AOB的平分線OE的反向延長線與⊙O的交點位置C時，△ABC的面積最大，進而求出即可．

解答：（1）解：∵Rt△AOB中OA=OB=6，
∴∠OBA=∠A=45°，
當C點在OB左側，AO上面時，當OC∥AB時，∠ABO=∠BOC，則∠BOC的度數(shù)為45°，
當C點在OB右側，AO下面時，當OC∥AB時，∠BOC的度數(shù)為：90°+45°=135°，
故答案為：45°或135°；

（2）證明：如圖2，∵OC∥AD，∠AOB=90°
∴∠ADO=∠COD=∠AOB=90°，
∴∠1+∠2=90°∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
在△BOC和△AOD中，

OC=OD ∠BOC=∠AOD BO=AO

，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO=∠ADC=90°，
∴OC⊥BC，
∴直線BC為⊙O的切線；

（3）解：當點C在⊙O上運動到∠AOB的平分線OE的反向延長線與⊙O的交點位置C時，
△ABC的面積最大，（如圖3）
過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，
此時C點到AB的距離的最大值為CE的長，
∵△OAB為等腰直角三角形，∴AB=

2

 OA=6

2

，
∴OE=AB=3

2

，OC=3
∴CE=OC+CE=3+3

2

，
△ABC的面積=CE•AB=

1

2

×（3+3

2

）×6

2

=9

2

+18．
∴△ABC的面積最大值為：9

2

+18．

點評：此題主要考查了圓的綜合以及等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定與性質等知識，利用數(shù)形結合分類討論得出是解題關鍵．