Question

19．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是弧AD的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，AD交CE于點(diǎn)F，CG交BD的延長線于點(diǎn)G，且∠GCD=∠ACE．
（1）求證：AF=CE；
（2）求證：CG是⊙O的切線；
（3）若∠GCD=30°，CD=6，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理得出∠ACF+∠BCE=90°，由CE⊥AB，得出∠ABC+∠BCE=90°，即可證得∠ACF=∠ABC，由∠ABC=∠DBC=∠CAD，得出∠CAD=∠ACF，由等角對(duì)等邊即可證得結(jié)論；
（2）連接CO，根據(jù)垂徑定理得出OC⊥AD，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等得到∠ABC=∠CBD=∠ADC，根據(jù)∠GCD=∠ACE，∠ACE=∠ABC，得到∠GCD=∠ADC，證得CG∥AD，即可證得OC⊥CG，根據(jù)切線的判定得到CG是⊙O的切線；
（3）解直角三角形即可求得CE的長．

解答 （1）證明：∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ABC=∠DBC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCE=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ABC+∠BCE=90°，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠CAD=∠DBC，
∴∠CAD=∠ACF，
∴AF=CE；
（2）證明：連接OC，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴OC⊥AD，
由（1）可知∠ACE=∠ABC，
∵∠GCD=∠ACE．
∴∠GCD=∠ACE，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠GCD=∠ADC，
∴AD∥CG，
∴OC⊥CG，
∴CG是⊙O的切線；
（3）解：∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴AC=CD=6，
∵∠ACE=∠GCD=30°，∠CEA=90°，
∴CE=cos30°•AC=3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理、圓周角定理的應(yīng)用，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定以及切線的判定，解直角三角形等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．