Question

17．同學(xué)們，我們知道一元二次方程ax²+bx+c=0若有根為x₁、x₂，則x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，不解方程x²-x-1=0，設(shè)它的根為x₁、x₂，求下列各式的值．
（1）x₁²+x₂²；                        
（2）x₁-x₂；
（3）若實數(shù)a、b滿足a²-a-2=0，b²-b-2=0，且a≠b，試求出$\frac{a}$+$\frac{a}$的值．

Answer 1

分析 （1）x₁、x₂是方程x²-x-1=0的兩實數(shù)根，根據(jù)x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，即可求出答案；
（2）x₁、x₂是方程x²-x-1=0的兩實數(shù)根，根據(jù)x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，即可求出答案；
（3）根據(jù)a、b滿足a²-a-2=0，b²-b-2=0，且a≠b，于是得到a，b是方程x²-x-2=0的根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：∵方程x²-x-1=0，設(shè)它的根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=1，x_1•x₂=-1，
（1）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x_1•x₂=1²+2=3；
（2）∵|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{{x}_{2}）}^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴x₁-x₂=$±\sqrt{5}$；

（3）∵a、b滿足a²-a-2=0，b²-b-2=0，且a≠b，
∴a，b是方程x²-x-2=0的根，
∴$\frac{a}$+$\frac{a}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{ab}=\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab}$=-$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，難度一般，關(guān)鍵掌握x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．