Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1．與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2．頂點(diǎn)為P．過(guò)動(dòng)點(diǎn)H （0，m）作平行于x軸的直線l，直線l與拋物線相交于點(diǎn)D、E．
（1）求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若m＞0，以DE為直徑作⊙Q，當(dāng)⊙Q與x軸相切時(shí)，求出m 是多少？此時(shí)在直線l上存在一點(diǎn)F，滿(mǎn)足|PF-AF|有最大值，求直線AF的函數(shù)表達(dá)式；
（3）若在直線l上找出一點(diǎn)G，使得△ACG是等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的m的值．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法直接求出拋物線解析式，再配成頂點(diǎn)式，確定出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由⊙Q與x軸相切，確定出m的值，再確定出點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P₁的坐標(biāo)，進(jìn)而解出結(jié)論；
（3）分直角頂點(diǎn)是A，C，P三種情況用平面坐標(biāo)系內(nèi)，兩點(diǎn)間的距離公式表示出線段，然后建立方程求解即可．

解答 解：（1）由題意：把A點(diǎn)坐標(biāo)（-1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)（0，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c中解得：
∴b=$\frac{3}{2}$，c=2．
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)：（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
（2）如圖1，

令y=m，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=m，
設(shè)D（x₁，0），E（x₂，0），
∴x₁、x₂是該方程的兩個(gè)根，則x²-3x-4+2m=0，
所以x₁+x₂=3，x₁x₂=-4+2m，
∴DE²=|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=9-（-4+2m）=25-8m．
∵以DE為直徑的⊙O與x軸相切，
∴DE=2m，即25-8m=4m²，解得m=-1±$\frac{\sqrt{29}}{2}$．
∵m＞0，
∴m=-1+$\frac{\sqrt{29}}{2}$．
∵此時(shí)在直線l上存在一點(diǎn)F，滿(mǎn)足|PF-AF|有最大值．
令頂點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P₁，可求得P₁坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{29}-\frac{41}{8}$）
根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得：PF=P₁F，
∴|PF-AF|=|P₁F-AF|．
易得A、P₁、F在同一條直線上時(shí)，|P₁F-AF|值最大為A P₁．
∴直線AF的函數(shù)表達(dá)式和直線A P₁相同，設(shè)為y₁=kx+n
代入A點(diǎn)坐標(biāo)（-1，0）得，P₁點(diǎn)坐標(biāo)（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{29}-\frac{41}{8}$）
得k=n=$\frac{2}{5}\sqrt{29}-\frac{41}{20}$
∴直線AF的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)₁=（$\frac{2}{5}\sqrt{29}-\frac{41}{20}$）（x+1）
y1=（$\frac{2}{5}\sqrt{29}-\frac{41}{20}$）x+$\frac{2}{5}\sqrt{29}-\frac{41}{20}$


（3）①以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)（-1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)（0，2）．
∴直線AC解析式為y=2x+2，AC=$\sqrt{5}$
∴直線CP解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵點(diǎn)P在直線y=m上．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4-2m，m），
∴CP=$\sqrt{（4-2m）^{2}+（m-2）^{2}}$
∵△ACG是等腰直角三角形，
∴AC=CP，
∴$\sqrt{5}$=$\sqrt{（4-2m）^{2}+（m-2）^{2}}$
∴m=1或m=3
②以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，
直線AP解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
設(shè)P（-2m-1，m），
∴AP=$\sqrt{（-2m-1+1）^{2}+{m}^{2}}$，
∵△ACG是等腰直角三角形，
∴AC=AP，
∴$\sqrt{5}$=$\sqrt{（-2m-1+1）^{2}+{m}^{2}}$，
∴m=±1，
③以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)P（n，m），
∴PA=$\sqrt{（n+1）^{2}+{m}^{2}}$，PC=$\sqrt{{n}^{2}+（m-2）^{2}}$
∵A（-1，0），C（0，2），
∴AC的中點(diǎn)M（-$\frac{1}{2}$，1），
∴PM=$\sqrt{（n+\frac{1}{2}）^{2}+（m-1）^{2}}$，
∵△ACG是等腰直角三角形，
∴PM=$\frac{1}{2}$AC，PA=PC，
∴$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\sqrt{（n+\frac{1}{2}）^{2}+（m-1）^{2}}$①，
$\sqrt{（n+1）^{2}+{m}^{2}}$=$\sqrt{{n}^{2}+（m-2）^{2}}$②，
聯(lián)立①②解得，m=$\frac{1}{2}$或m=$\frac{3}{2}$
綜上所述，m的值為-1、$\frac{1}{2}$、1、$\frac{3}{2}$、3．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查待定系數(shù)法，極值，對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，解本題的關(guān)鍵是用方程的思想解決問(wèn)題．