Question

16．如圖，已知點A（1，a）是反比例函數(shù)y=-$\frac{3}{x}$的圖象上一點，直線y=-$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$與反比例函數(shù)y=-$\frac{3}{x}$的圖象在第四象限的交點為點B．
（1）求直線AB的解析式；
（2）動點P（x，0）在x軸的正半軸上運動，當(dāng)線段PA與線段PB之差達(dá)到最大時，則點P的坐標(biāo)為（4，0）
（3）在（2）的情況下，求過P、B、O三點的拋物線的解析式，并求出拋物線的頂點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先把A（1，a）代入反比例函數(shù)解析式求出a得到A點坐標(biāo)，再解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{x}}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$得B點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求AB的解析式；
（2）直線AB交x軸于點Q，如圖，利用x軸上點的坐標(biāo)特征得到Q點坐標(biāo)，則PA-PB≤AB（當(dāng)P、A、B共線時取等號），于是可判斷當(dāng)P點運動到Q點時，線段PA與線段PB之差達(dá)到最大，從而得到P點坐標(biāo)．
（3）在（2）的情況下，設(shè)過P、B、O三點的拋物線的解析式為y=mx（x-4），把B（3，-1）代入，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．

解答 解：（1）把A（1，a）代入y=-$\frac{3}{x}$得a=-3，則A（1，-3），
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{x}}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，則B（3，-1），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（1，-3），B（3，-1）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-3}\\{3k+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
所以直線AB的解析式為y=x-4；

（2）直線AB交x軸于點Q，如圖，
當(dāng)y=0時，x-4=0，解得x=4，則Q（4，0），
因為PA-PB≤AB（當(dāng)P、A、B共線時取等號），
所以當(dāng)P點運動到Q點時，線段PA與線段PB之差達(dá)到最大，此時P點坐標(biāo)為（4，0）．
故答案為（4，0）；

（3）在（2）的情況下，設(shè)過P、B、O三點的拋物線的解析式為y=mx（x-4），
把B（3，-1）代入，得-1=-3m，解得m=$\frac{1}{3}$，
所以拋物線的解析式為y=$\frac{1}{3}$x（x-4），即y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．