Question

19．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠D=90°，AD=7，AB=2，DC=3，P為AD上一點(diǎn)，以P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與以P，D，C為頂點(diǎn)的三角形相似，那么這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？為什么？

Answer 1

分析 設(shè)AP=x，則PD=AD-AP=7-x，然后分類討論：若∠APB=∠DPC，則Rt△APB∽R(shí)t△DPC，得到$\frac{AP}{PD}$=$\frac{AB}{CD}$，即$\frac{x}{7-x}$=$\frac{2}{3}$；若∠APB=∠PCD，則Rt△APB∽R(shí)t△DCP，得到$\frac{AP}{CD}$=$\frac{AB}{PD}$，即$\frac{x}{3}$=$\frac{2}{7-x}$，再分別解關(guān)于x的方程求出x的值，則可確定P點(diǎn)的位置．

解答 解：設(shè)AP=x，則PD=AD-AP=7-x，
若∠APB=∠DPC，則Rt△APB∽R(shí)t△DPC，
所以$\frac{AP}{PD}$=$\frac{AB}{CD}$，即$\frac{x}{7-x}$=$\frac{2}{3}$，解得x=$\frac{14}{5}$；
若∠APB=∠PCD，則Rt△APB∽R(shí)t△DCP，
所以$\frac{AP}{CD}$=$\frac{AB}{PD}$，即$\frac{x}{3}$=$\frac{2}{7-x}$，解得x₁=1，x₂=6，
所以當(dāng)AP=$\frac{14}{5}$或1或6時(shí)，以P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與以P，D，C為頂點(diǎn)的三角形相似，即這樣的P點(diǎn)有三個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．也考查了分類討論的思想．