Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，$\sqrt{3}$），點(diǎn)B（2，0），P為線段OB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥OA，交AB于點(diǎn)Q，連接AP，則△APQ面積最大值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{8}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{6}$

Answer 1

分析 如圖，作AF⊥OB于F，QE⊥OB于E．設(shè)OP=x．根據(jù)S_△APQ=S_△AOB-S_△AOP-S_△PQB，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出△APQ面積最大值為多少即可．

解答 解：如圖，作AF⊥OB于F，QE⊥OB于E．設(shè)OP=x，
，
∵點(diǎn)A（1，$\sqrt{3}$），點(diǎn)B（2，0），
∴點(diǎn)F是OB的中點(diǎn)，
∴OF=2÷2=1，AF=$\sqrt{3}$，
∵OF=FB，AF⊥OB，
∴AO=AB，
∴OA=AB=$\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{3}）}^{2}}$=2，
∵OA=AB=OB=2，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠BOA=∠BAO=∠ABO=60°，
∵PQ∥OA，
∴∠QPB=∠AOB=60°，
∴△BPQ是等邊三角形，
∴BP=BQ=PQ=2-x，
∴S_△BPQ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2-x）²，
∴S_△APQ=S_△AOB-S_△AOP-S_△BPQ
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²-$\frac{1}{2}$x•$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2-x）²
=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（4-2x+x²）
=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-1）²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$
∴當(dāng)x=1時(shí)，△APQ面積最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，以及二次函數(shù)的最值的求法，要熟練掌握．