Question

11．如果$\sqrt{2011+x}+\sqrt{2011-x}$是整數(shù)，這樣的整數(shù)x（　�。�

• A． 存在且唯一
• B． 恰有兩個
• C． 有兩個以上
• D． 不存在

Answer 1

分析 設(shè)p=$\sqrt{2011+x}$，q=$\sqrt{2011-x}$，即p、q也是整數(shù)，得到2011+x=p²①，2011-x+q²②，①+②得：p²+q²=4022得到p、q都是奇數(shù)，設(shè)p=2k-1，q=2m-1，于是得到結(jié)論．

解答 解：∵$\sqrt{2011+x}+\sqrt{2011-x}$是整數(shù)，所以x是整數(shù)，
設(shè)p=$\sqrt{2011+x}$，q=$\sqrt{2011-x}$，
即p、q也是整數(shù)，
∴2011+x=p²①，2011-x=q²②，
∴①+②得：p²+q²=4022，
∵4022=2×2011，
∴p、q都是奇數(shù)，
設(shè)p=2k-1，q=2m-1，
則有1005=k（k-1）+m（m-1），
而k（k-1）+m（m-1）為偶數(shù)，1005為奇數(shù)，故無解，
故選D．

點評 本題考查了實數(shù)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．