Question

4．在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=5$\sqrt{2}$，BC=5$\sqrt{6}$，CD⊥AB于點(diǎn)D．
（1）求CD的長(zhǎng)；
（2）若以AC邊為對(duì)稱(chēng)軸，作△ABC的對(duì)稱(chēng)圖形，得到△AB′C，點(diǎn)B與B′為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，求△AB′B的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)CD⊥AB，∠B=30°，可得Rt△BCD中，CD=$\frac{1}{2}$BC；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)變換，得到點(diǎn)B'的位置，進(jìn)而得到△AB′C，根據(jù)△ABB'為等腰三角形，即可得到△AB′B的面積．

解答 解：（1）∵CD⊥AB，BC=5$\sqrt{6}$，∠B=30°，
∴Rt△BCD中，CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}\sqrt{6}$；
（2）如圖所示，△AB′C即為所求；

由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，B'C=BC=5$\sqrt{6}$，∠BCB'=180°，
∴BB'=10$\sqrt{6}$，
∴△AB′B的面積=$\frac{1}{2}$BB'×AC=$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{6}$×5$\sqrt{2}$=50$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)變換進(jìn)行作圖，含30°角直角三角形的性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算，解題時(shí)注意：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．