Question

11．已知拋物線y=mx²-（m-5）x-5（m＞0），與x軸交于兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），（x₁＜x₂），與y軸交于點(diǎn)C且AB=6．
（1）求拋物線和直線BC的解析式；
（2）畫出它們的大致圖象；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥X軸于點(diǎn)N，使△MBN被直線BC分成面積1：3的兩部分？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)解方程mx²-（m-5）x-5=0可得到A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用AB=6得到1+$\frac{5}{m}$=6，可解得m=1，從而得到拋物線解析式，于是可確定C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式；
（2）先利用配方法得到=（x+2）²-9，則拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-9），然后利用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象；
（3）直線MN交直線BC于點(diǎn)P，如圖，設(shè)M（x，x²+4x-5），則P（x，5x-5），則MP=|x²-x|，PN=|5x-5|，根據(jù)三角形面積公式得到MP=3PN或PN=3NP，則|x²-x|=3|5x-5|或|5x-5|=3|x²-x|，然后分別解方程得到滿足條件的x的值，從而得到M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，mx²-（m-5）x-5=0，解得x₁=-$\frac{5}{m}$，x₂=1，則A（-$\frac{5}{m}$，0），B（1，0），
∵AB=6，
∴1+$\frac{5}{m}$=6，解得m=1，
∴拋物線的解析式為y=x²+4x-5，
當(dāng)x=0時(shí)，y=x²+4x-5=-5，則C（0，-5），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（1，0），C（0，-5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=-5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=5}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=5x-5；
（2）y=x²+4x-5=（x+2）²-9，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-9）
如圖，
（3）存在．
直線MN交直線BC于點(diǎn)P，如圖，
設(shè)M（x，x²+4x-5），則P（x，5x-5），
∴MP=|x²+4x-5-（5x-5）|=|x²-x|，PN=|5x-5|，
∵△MBN被直線BC分成面積1：3的兩部分，
∴MP=3PN或PN=3NP，
即|x²-x|=3|5x-5|或|5x-5|=3|x²-x|，
解|x²-x|=3|5x-5|得x₁=1（舍去），x₂=15或x₁=1（舍去），x₂=-15（舍去）
解|5x-5|=3|x²-x|得x₁=1（舍去），x₂=$\frac{5}{3}$或x₁=1（舍去），x₂=-$\frac{5}{3}$（舍去），
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（15，280）或（$\frac{5}{3}$，$\frac{40}{9}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；把面積等份的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段等份的問(wèn)題是解決（3）小題的關(guān)鍵．