Question

20．已知拋物線y=-x²+2x+3交x軸于A、B兩點，與y軸交于C點．A在B的左側(cè)，點M是直線BC上方的拋物線上一動點．
（1）當(dāng)點M運動到什么位置時，四邊形ABMC的面積最大？并求出此時M點的坐標(biāo)和四邊形ABMC的最大面積．
（2）點P（1，-3）是拋物線對稱軸上的一點，在線段OC上有一動點M，以每秒2個單位的速度從O向C運動，過點M作MH∥BC，交x軸于點H，設(shè)點M的運動時間為t秒，試把△PMH的面積S表示成t的函數(shù)，當(dāng)t為何值時，S有最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的解析式求得A（-1，0），B（3，0），C（0，3），設(shè)M（m．-m²+2m+3），過M作MN⊥x軸于N，根據(jù)圖形的面積即可得到結(jié)論；
（2）求得直線BC的解析式為y=-x+3，根據(jù)MH∥BC，得到MH的解析式為y=-x+2t，于是得到M（0，2t），H（2t，0），設(shè)直線MH交對稱軸于G則G（1，2t-1），根據(jù)三角形的面積公式即可試試結(jié)論．

解答 解：（1）令y=0，則-x²+2x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
設(shè)M（m．-m²+2m+3），
過M作MN⊥x軸于N，
則S_{四邊形ABMC}=S_△AOC+S_梯形CONM+S_△BNM=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$（3-m²+2m+3）•m+$\frac{1}{2}$（3-m）（-m²+2m+3）=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m+6，
∵a=-$\frac{3}{2}$＜0，
∴x=-$\frac{\frac{9}{2}}{2×（-\frac{3}{2}）}$=$\frac{3}{2}$時，S_最大=$\frac{75}{8}$；
（2）∵B（3，0），C（0．-3），
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
∵MH∥BC，
∴MH的解析式為y=-x+2t，
∴M（0，2t），H（2t，0），設(shè)直線MH交對稱軸于G則G（1，2t-1），
∴S_△PMH=S_△PMG+S_△PHG=$\frac{1}{2}$（2t-1+3）×1+$\frac{1}{2}$×（2t-1+3）×（2t-1）=2t²+2t，
當(dāng)t=1.5時，S_最大=7.5．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的最值，三角形面積的計算，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．