Question

8．∠AOB=90°，∠COD=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．

（1）如圖1，當(dāng)A，O，D三點(diǎn)共線時(shí)，則∠EOF=75°
（2）將∠COD繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)至如圖2所示位置，∠COD的兩邊OC，OD都在∠AOB的內(nèi)部，求∠EOF的度數(shù)；
（3）當(dāng)∠COD旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置，作∠EOF的角平分線ON，求∠EON的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平角的定義可求∠AOC，∠BOD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得∠AOE，∠FOD的度數(shù)，再根據(jù)平角的定義可求∠EOF的度數(shù)；
（2）設(shè)∠AOE=∠COE=x，根據(jù)角的和差關(guān)系得到∠BOD=30°-2x，根據(jù)角平分線的定義得到∠BOF=15°-x，再∠EOF=∠AOB-（∠AOE+∠BOF）即可求解；
（3）設(shè)∠BOC=2x，則∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=270°-2x，∠BOD=∠BOC+∠COD=2x+60°，根據(jù)角平分線的定義得到∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=135°-x，同理∠DOF=$\frac{1}{2}$∠BOD=x+30°，可得∠EOF=∠COE+∠DOF-∠COD=105°，再根據(jù)角平分線的定義得到∠EON的度數(shù)．

解答 解：（1）∵∠COD=60°，∠AOB=90°，
∴∠AOC=120°，∠BOD=90°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE=60°，∠FOD=45°，
∴∠EOF=180°-60°-45°=75°；
（2）∵OE平分∠AOC，
∴設(shè)∠AOE=∠COE=x，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOC-∠COD=90°-2x-60°=30°-2x，
又∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$（30°-2x）=15°-x，
∴∠EOF=∠AOB-（∠AOE+∠BOF）=90°-（x+15°-x）=75°，
（3）設(shè)∠BOC=2x，
則∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=360°-90°-2x=270°-2x，
∠BOD=∠BOC+∠COD=2x+60°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=135°-x，
同理∠DOF=$\frac{1}{2}$∠BOD=x+30°，
∴∠EOF=∠COE+∠DOF-∠COD=105°，
又∵ON平分∠EOF
∴∠EON=$\frac{1}{2}$∠EOF=52.5°．
故答案為：75°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是角的計(jì)算，角平分線的定義，熟知從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線是解答此題的關(guān)鍵．