Question

11．如圖1，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別是線段CD，AD，AB上的點，點H是線段AB上一個動點（不與A，B重合），把直角梯形ADEH沿EH折疊，若AD=8，DE=5，CE=10，DF=2$\sqrt{15}$，BG=$\frac{32}{3}$，則當(dāng)點F的對應(yīng)點F′落在CG上時，CF′=1．

Answer 1

分析 如圖連接EF、EF′，作F′M⊥CE于M．首先證明△CMF′∽△GBC，推出F′M：CM：CF′=3：4：5，設(shè)F′M=3k，CM=4k，CF′=5k，在Rt△EMF′中，根據(jù)EF′²=EM²+MF′²，列出方程即可解決問題．

解答 解：如圖連接EF、EF′，作F′M⊥CE于M．

在Rt△DEF中，∵DF=2$\sqrt{15}$，DE=5，
∴EF=EF′=$\sqrt{D{F}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{60+25}$=$\sqrt{85}$，
在Rt△BGC中，∵BG=$\frac{32}{3}$，BC=8，
∴CG=$\sqrt{G{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{40}{3}$，
∴BC：BG：GC=3：4：5，
由△CMF′∽△GBC，可知F′M：CM：CF′=3：4：5，設(shè)F′M=3k，CM=4k，CF′=5k，
在Rt△EMF′中，∵EF′²=EM²+MF′²，
∴（$\sqrt{85}$）²=（10-4k）²+（3k）²，
解得k=$\frac{1}{5}$或3（舍棄），
∴CF′=5k=1．
故答案為1．

點評 本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，學(xué)會用構(gòu)建方程的首先思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．