Question

2．如圖①，在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且AD=AE，BE與CD相交于點(diǎn)F，∠DFE=120°，連接AF．

（1）求證：AF平分∠DFE；
（2）如圖②，取BC中點(diǎn)G，連接AG交BE于H，試探究線段AH與BH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AF、DE，先證明△ADE是等邊三角形，得出∠AED=∠ADE=60°，再證明點(diǎn)E、A、D、F四點(diǎn)共圓，由圓周角定理證出∠AFE=∠AFD，即可得出結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)AG至M，使MG=AG，連接CM、BM，則四邊形ABMC是平行四邊形，得出AB∥CM，AB=CM，證出∠1=∠2，證出∠DEC=∠BDE=120°，由三角形內(nèi)角和定理證出∠3=∠4，得出△CED∽△EDB，得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{CE}{ED}=\frac{ED}{BD}$，由比例的性質(zhì)得出$\frac{CE}{ED+CE}=\frac{ED}{BD+ED}$，由等邊三角形的性質(zhì)得出AE=ED=AD，證出$\frac{CE}{ED}=\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{CM}$，證明△CED∽△ACM，得出∠3=∠2，證出∠1=∠4，由等腰三角形的判定定理得出AH=BH即可．

解答 （1）證明：連接AF、DE，如圖①所示：
∵∠BAC=60°，AD=AE，
∴△ADE是等邊三角形，
∴∠AED=∠ADE=60°，
∵∠DFE=120°，∴∠BAC+∠DFE=180°，
∴點(diǎn)E、A、D、F四點(diǎn)共圓，
∴∠AFE=∠ADE=60°，∠AFD=∠AED=60°，
∴∠AFE=∠AFD，
∴AF平分∠DFE；
（2）解：AH=BH，理由如下：
延長(zhǎng)AG至M，使MG=AG，連接CM、BM，如圖②所示：
∵G是BC的中點(diǎn)，
∴BG=CG，
∴四邊形ABMC是平行四邊形，
∴AB∥CM，AB=CM，
∴∠1=∠2，∠ACM=180°-∠BAC=120°，
∵∠AED=∠ADE=60°，
∴∠DEC=∠BDE=120°，
∵∠FED=∠DEB，∠EFD=∠BDE=120°，
∴由三角形內(nèi)角和定理得：∠3=∠4，
∴△CED∽△EDB，
∴$\frac{CE}{ED}=\frac{ED}{BD}$，
∴$\frac{CE}{ED+CE}=\frac{ED}{BD+ED}$，
∵△ADE是等邊三角形，
∴AE=ED=AD，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{ED}{AB}$，
∴$\frac{CE}{ED}=\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{CM}$，
又∵∠CED=∠ACM=120°，
∴△CED∽△ACM，
∴∠3=∠2，
又∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠4，
∴AH=BH．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，證明三角形相似是解決問題（2）的關(guān)鍵．