Question

12．如圖，拋物線y=（x+1）²-4與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C．
（1）求A、C兩點的坐標(biāo)；
（2）拋物線的對稱軸上存在一點P，使得△PBC的周長最小，求此時點P的坐標(biāo)及最小周長；
（3）點M是拋物線上一動點，且在第三象限，當(dāng)四邊形AMCO的面積最大時，求出四邊形AMCO的最大面積及此時點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）分別令x=0，y=0即可解決問題．
（2）如圖1中，連接AC交對稱軸于P，此時△PBC周長最小．
（3）如圖2中，設(shè)M（m，m²+2m-3），連接OM．根據(jù)S_{四邊形AMCO}=S_△AOM+S_△MOC構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

解答 解：（1）令x=0，得y=-3，
∴點C坐標(biāo)（0，-3）．
令y=0則（x+1）²-4=0，解得x=-3或1，
∴點A坐標(biāo)（-3，0），B（1，0），
∴A（-3，0），C（0，-3）．

（2）如圖1中，連接AC交對稱軸于P，

∵PB=PA，
∴PB+PC=PB+PA，
∴此時PB+PC最短，△PBC的周長最短，
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b則$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線AC解析式為y=-x-3，
∵對稱軸x=-1，
∴點P坐標(biāo)（-1，-2），
在Rt△AOC中，∵∠AOC=90°，OA=OC=3，
∴AC=3$\sqrt{2}$，
∵BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴△PBC周長的最小值為3$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$．

（3）如圖2中，設(shè)M（m，m²+2m-3），連接OM．

∵S_{四邊形AMCO}=S_△AOM+S_△MOC=$\frac{1}{2}$×3×（-m²-2m+3）+$\frac{1}{2}$×3×（-m）=-$\frac{3}{2}$m²-$\frac{9}{2}$m+$\frac{9}{2}$=-$\frac{3}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{63}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴m=-$\frac{3}{2}$時，四邊形AMCO面積最大，最大值為$\frac{63}{8}$，
此時點M（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、一次函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱解決最短問題，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題．屬于中考�？碱}型．