Question

12．（1）已知：如圖①正方形ABCD，以AD，CD為一邊向外作等邊△ADE和等邊△CDF，連BE，EF，F(xiàn)B．
①求證：△ABE≌△CFB；
②填空：△BEF是等邊三角形．
（2）將（1）中條件正方形ABCD改為矩形ABCD，如圖②，其他條件不變，那么題目中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，證明：若不成，說明理由．
（3）將題目（1）條件中的正方形ABCD改為?ABCD，其他條件不變，那么（1）中的結(jié)論是否成立？畫出圖形，并結(jié)合圖形寫出相應(yīng)結(jié)論，不必證明．

Answer 1

分析 （1）①利用SAS即可證明兩三角形的全等；②再證明△ABE≌△DFE，可得△BEF是等邊三角形；
（2）求出∠BAE，∠EDF，∠FCB的度數(shù)，繼而證明△ABE≌△CFB≌△DFE，即可得出結(jié)論；
（3）證明方法與（2）完全相同，畫出圖形寫出結(jié)論即可．

解答 ①證明：∠BAE=90°+60°=150°，∠FCB=90°+60°=150°，
在△ABE和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CF}\\{∠BAE=∠FCB}\\{AE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CFB（SAS）．
②∠FDE=360°-60°-60°-90°=150°，
在△ABE和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DF}\\{∠BAE=∠FDE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFE（SAS），
∴BE=FE，
又∵△ABE≌△CFB，
∴BE=FB=FE，
∴△BFE是等邊三角形．

（2）∠BAE=90°+60°=150°，∠FCB=90°+60°=150°，∠FDE=360°-60°-60°-90°=150°，
在△ABE和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CF}\\{∠BAE=∠FCB}\\{AE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CFB（SAS），
在△ABE和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DF}\\{∠BAE=∠FDE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFE（SAS），
∴△ABE≌△CFB≌△DFE，
∴BE=EF=FB，
∴兩結(jié)論成立．

（3）將題目（1）條件中的正方形ABCD改為?ABCD，
當(dāng)平行四邊形中有一個(gè)角是60°時(shí)，（1）的第一個(gè)結(jié)論中的兩個(gè)三角形是不存在的；第二個(gè)結(jié)論依然成立；
當(dāng)平行四邊形中沒有60°角時(shí)，（1）的兩個(gè)結(jié)論依然成立．
如圖：

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形的綜合，涉及了全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵之處在于判斷∠BAE=∠EDF=∠FCB，難度一般．