Question

1．已知拋物線y=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0），直線y=-x+$\frac{a}{5{a}^{2}-4a+1}$．
定義：若存在某一數(shù)x₀，使得點（x₀，x₀）在拋物線y=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）上，則稱x₀是拋物線的一個不動點．
（1）當(dāng)a=1，b=-2時，求拋物線的不動點；
（2）若對任意的b值，拋物線恒有兩個不動點，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若A，B兩點的橫坐標(biāo)是拋物線的不動點，且AB的中點C在直線上，請直接寫出b的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出拋物線解析式，再確定出拋物線的不動點；
（2）根據(jù)一元二次方程根的判別式確定出a的范圍；
（3）利用中點坐標(biāo)確定出a，b的函數(shù)關(guān)系式，從而求出b的最小值．

解答 解：（1）當(dāng)a=1，b=-2時，拋物線y=x²-x-3，
令x²-x-3=x，即x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
所以此時拋物線的不動點為-1或3，
（2）若對任意的b值，拋物線恒有兩個不動點，
則令ax²+（b+1）x+b-1=x
即ax²+bx+b-1=0恒有兩個不等實數(shù)解，
∴令△=b²-4a（b-1）＞0對任意的b值恒成立，
即b²-4ab+4a＞0對任意的b值恒成立，
令△'=（4a）²-4•4a＜0
即a²-a＜0解得0＜a＜1，
（3）設(shè)A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）（x₁≠x₂）
∵AB的中點C在直線上，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+\frac{a}{5{a}^{2}-4a+1}$
∴x₁+x₂=$\frac{a}{5{a}^{2}-4a+1}$
∵x₁，x₂是方程ax²+bx+b-1=0的兩根
∴x₁+x₂=-$\frac{a}$，
∴-$\frac{a}=\frac{a}{5{a}^{2}-4a+1}$
∴b=-$\frac{1}{（\frac{1}{a}-2）^{2}+1}$
∴當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，b的最小值是-1．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了新定義，一元二次方程根的判別式，中點坐標(biāo)，理解新定義是解本題的關(guān)鍵．