Question

16．在?ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，BF交DE于點H，交AD的延長線于點G，下面結論中：
①BD=$\sqrt{2}$BE；②∠A=∠BHE；③CD²+BG²=AG²；④BH×DG=ED×GH．
正確的結論是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 通過判斷△BDE為等腰直角三角形，得到BE=DE，BD=$\sqrt{2}$BE，則可對①進行判斷；根據(jù)等角的余角相等得到∠BHE=∠C，再根據(jù)平行四邊形的性質得到∠A=∠C，則∠A=∠BHE，于是可對②進行判斷；由AB∥DF，得到∠ABG=90°，于是得到AB²+BG²=AG²，由等量代換可得③正確；根據(jù)三角形相似和等量代換可得④正確．

解答 解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC，
∴△BDE為等腰直角三角形，
∴BE=DE，BD=$\sqrt{2}$BE，所以①正確；
∵BF⊥CD，
∴∠C+∠CBF=90°，
而∠BHE+∠CBF=90°，
∴∠BHE=∠C，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠A=∠C，
∴∠A=∠BHE，所以②正確；
∵AB∥DF，
∴AB⊥BG，
∴∠ABG=90°，
∴AB²+BG²=AG²，
∵AB=CD，
∴CD²+BG²=AG²；所以③正確；
∵DG∥BE，
∴△BEH∽△GDH，
∴$\frac{BE}{DG}=\frac{BH}{HG}$，
∴BH•DG=BE•HG，
∵BE=DE，
∴BH×DG=ED×GH，所以④正確；
故選D．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形．也考查了平行四邊形的性質．