Question

11．【操作發(fā)現(xiàn)】
如圖①，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上．

（1）請按要求畫圖：將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，點B的對應點為B′，點C的對應點為C′，連接BB′；
（2）在（1）所畫圖形中，∠AB′B=45°．
【問題解決】
如圖②，在等邊三角形ABC中，AC=7，點P在△ABC內，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面積．
小明同學通過觀察、分析、思考，對上述問題形成了如下想法：
想法一：將△APC繞點A按順時針方向旋轉60°，得到△AP′B，連接PP′，尋找PA，PB，PC三條線段之間的數(shù)量關系；
想法二：將△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP′C′，連接PP′，尋找PA，PB，PC三條線段之間的數(shù)量關系．
…
請參考小明同學的想法，完成該問題的解答過程．（一種方法即可）
【靈活運用】
如圖③，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k為常數(shù)），求BD的長（用含k的式子表示）．

Answer 1

分析 【操作發(fā)現(xiàn)】（1）根據(jù)旋轉角，旋轉方向畫出圖形即可；
（2）只要證明△ABB′是等腰直角三角形即可；
【問題解決】如圖②，將△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP′C′，只要證明∠PP′C=90°，利用勾股定理即可解決問題；
【靈活運用】如圖③中，由AE⊥BC，BE=EC，推出AB=AC，將△ABD繞點A逆時針旋轉得到△ACG，連接DG．則BD=CG，只要證明∠GDC=90°，可得CG=$\sqrt{D{G}^{2}+C{D}^{2}}$，由此即可解決問題；

解答 解：【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖所示，△AB′C′即為所求；

（2）連接BB′，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，
∴AB=AB′，∠B′AB=90°，
∴∠AB′B=45°，
故答案為：45°；

【問題解決】如圖②，

∵將△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP′C′，
∴△APP′是等邊三角形，∠AP′C=∠APB=360°-90°-120°=150°，
∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°，
∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°，
∴PP′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PC，即AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PC，
∵∠APC=90°，
∴AP²+PC²=AC²，即（$\frac{\sqrt{3}}{2}$PC）²+PC²=7²，
∴PC=2$\sqrt{7}$，
∴AP=$\sqrt{21}$，
∴S_△APC=$\frac{1}{2}$AP•PC=7$\sqrt{3}$；

【靈活運用】如圖③中，∵AE⊥BC，BE=EC，
∴AB=AC，將△ABD繞點A逆時針旋轉得到△ACG，連接DG．則BD=CG，

∵∠BAD=∠CAG，
∴∠BAC=∠DAG，
∵AB=AC，AD=AG，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD=kAB，
∴DG=kBC=4k，
∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，
∴∠ADG+∠ADC=90°，
∴∠GDC=90°，
∴CG=$\sqrt{D{G}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{16{k}^{2}+25}$．
∴BD=CG=$\sqrt{16{k}^{2}+25}$．

點評 本題考查相似形綜合題、等邊三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質、勾股定理、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用旋轉法添加輔助線，構造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．