Question

5．【問題提出】
如圖1，把一個(gè)邊長為1的正三角形紙片（即△OAB）放在直線l₁上，OA邊與直線l₁重合，然后將三角形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動到了點(diǎn)O₁處，點(diǎn)B運(yùn)動到了點(diǎn)B₁處；再將三角形紙片AO₁B₁繞點(diǎn)B₁按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，點(diǎn)A運(yùn)動到了點(diǎn)A₁處，點(diǎn)O₁運(yùn)動到了點(diǎn)O₂處（即頂點(diǎn)O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達(dá)O₂處），求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程，并求頂點(diǎn)O在此運(yùn)動過程中所形成的圖形與直線l₁圍成圖形的面積．
【問題解決】
三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)過程中，頂點(diǎn)O運(yùn)動所形成的圖形是兩段圓弧，即弧OO₁和弧O₁O₂，頂點(diǎn)O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，即$\frac{120π}{180}$+$\frac{120π}{180}$=$\frac{4π}{3}$；這兩段圓弧與直線l₁圍成的圖形面積，等于扇形AOO₁的面積、△AO₁B₁的面積和扇形B₁O₁O₂的面積之和，即$\frac{120π}{360}$+$\frac{1}{2}×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}$+$\frac{120π}{360}$=$\frac{2π}{3}$+$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
【類比應(yīng)用】
如圖2，把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l₂上，OA邊與直線l₂重合，然后將正方形紙片進(jìn)行第一次旋轉(zhuǎn)，即繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動到了點(diǎn)O₁處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動到了點(diǎn)C₁處，點(diǎn)B運(yùn)動到了點(diǎn)B₁處；再將正方形紙片AO₁C₁B₁進(jìn)行第二次旋轉(zhuǎn)，即繞點(diǎn)B₁按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，…，按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后．

請你解答下面兩個(gè)問題：
（1）若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程，并求頂點(diǎn)O在此運(yùn)動過程中所形成的圖形與直線l₂圍成圖形的面積；
（2）若正方形OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程．
【拓展應(yīng)用】
將正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程是$\frac{41+20\sqrt{2}}{2}$π？

Answer 1

分析 ①根據(jù)正方形旋轉(zhuǎn)3次的路徑，利用弧長計(jì)算公式以及扇形面積公式求出即可；
②根據(jù)正方形旋轉(zhuǎn)5次的路徑，利用弧長計(jì)算公式求出即可；
【拓展應(yīng)用】
再利用正方形紙片OABC經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)得出旋轉(zhuǎn)路徑，進(jìn)而得出$\frac{41-20\sqrt{2}}{2}π$=20（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π+$\frac{π}{2}$，即可得出旋轉(zhuǎn)次數(shù)．

解答 解：①如圖所示，正方形紙片OABC經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動所形成的圖形是三段圓弧，
∴頂點(diǎn)O在此過程中經(jīng)過的路程為：$\frac{90π×1}{180}$×2+$\frac{90π×\sqrt{2}}{180}$=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π，
頂點(diǎn)O在此過程中經(jīng)過的圖形與直線l₂圍成的圖形面積為：$\frac{90π×{1}^{2}}{360}$×2+$\frac{90π×2}{360}$+2×$\frac{1}{2}$×1=1+π．
②正方形紙片OABC經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O在此過程中經(jīng)過的路程為：$\frac{9π×1}{180}$×3+$\frac{90π×\sqrt{2}}{180}$=（$\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$）π；
【拓展應(yīng)用】
正方形紙片OABC經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O在此過程中經(jīng)過的路程為：$\frac{90π×1}{180}$×2+$\frac{90π×\sqrt{2}}{180}$=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π，
根據(jù)第四次正方形旋轉(zhuǎn)時(shí)O點(diǎn)不動，也就是此時(shí)也是正方形紙片OABC經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)的路程；
∴$\frac{41-20\sqrt{2}}{2}π$=20（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π+$\frac{π}{2}$，
∴正方形紙片OABC經(jīng)過了：20×4+1=81次旋轉(zhuǎn)．

點(diǎn)評 此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)以及扇形面積公式和弧長計(jì)算公式，分別得出旋轉(zhuǎn)3，4，5次旋轉(zhuǎn)的路徑是解決問題的關(guān)鍵．