Question

17．如圖，平面直角坐標系中，A（-3，-2）、B（-1，-4）
（1）直接寫出：S_△OAB=5；
（2）延長AB交y軸于P點，求P點坐標；
（3）Q點在y軸上，以A、B、O、Q為頂點的四邊形面積為6，求Q點坐標．

Answer 1

分析 （1）延長AB交y軸于P點，如圖，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=-x-5，則得到P（0，-5），然后根據(jù)三角形面積公式和利用S_△OAB=S_△AOP-S_△OBP進行計算即可；
（2）由（1）得到P點的坐標；
（3）分類討論：當Q在y軸的正半軸上時，利用S_{四邊形ABOQ}=S_△AOB+S_△AOQ得到S_△AOQ=1，再根據(jù)三角形面積公式求出OQ．從而得到Q點坐標；當Q在y軸的負半軸上時，利用S_{四邊形ABOQ}=S_△AOB+S_△BOQ得到S_△BOQ=1，再根據(jù)三角形面積公式求出OQ．從而得到Q點坐標．

解答 解：（1）延長AB交y軸于P點，如圖，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（-3，-2）、B（-1，-4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=-2}\\{-k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-5}\end{array}\right.$．
所以直線AB的解析式為y=-x-5，
當x=0時，y=-x-5=-5，則P（0，-5），
所以S_△OAB=S_△AOP-S_△OBP
=$\frac{1}{2}$×5×3-$\frac{1}{2}$×5×1
=5．
故答案為5；
（2）由（1）得到P點的坐標為（0，-5）；
（3）當Q在y軸的正半軸上時，∵S_{四邊形ABOQ}=S_△AOB+S_△AOQ，
∴S_△AOQ=6-5=1，
∴$\frac{1}{2}$×3×OQ=1，
解得OQ=$\frac{2}{3}$．
則此時Q點的坐標為（0，$\frac{2}{3}$）；
當Q在y軸的負半軸上時，
∵S_{四邊形ABOQ}=S_△AOB+S_△BOQ，
∴S_△BOQ=1，
∴S_△AOQ=6-5=1，
∴$\frac{1}{2}$×1×OQ=1，
解得OQ=2，
則此時Q點的坐標為（0，-2），
即Q點坐標為（0，$\frac{2}{3}$）或（0，-2）．

點評 本題考查了坐標與圖形性質(zhì)：利用點的坐標求相應(yīng)線段的長和判斷線段與坐標軸的位置關(guān)系．也考查了三角形面積公式．第（3）問要分類討論．