Question

20．試求下列各式的最小值：
（1）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|；
（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1000|．

Answer 1

分析 （1）把x看為數(shù)軸上的一點(diǎn)，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-1997|表示：點(diǎn)x到數(shù)軸上的1997個(gè)點(diǎn)（1、2、3、…、1997）的距離之和，由于原式的絕對(duì)值共有1997項(xiàng)，最中間的那一項(xiàng)是|x-999|，所以只需取x=999，它們的和就可以獲得最小值；
（2）同（1）可知，由于原式的絕對(duì)值共有1000項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)在x在500與501之間時(shí)，算式|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1000|的值最小，據(jù)此求出最小值是多少即可．

解答 解：（1）由于原式的絕對(duì)值共有1997項(xiàng)，最中間的那一項(xiàng)是|x-999|，所以只需取x=999，它們的和就可以獲得最小值，原式可以展開為：
|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|，
=|999-1|+|999-2|+…+|999-998|+|999-999|+|999-1000|+…+|999-1997|
=998+997+…+1+0+1+…+998
=2×（1+2+3+…+998）
=2×998×999×$\frac{1}{2}$
=998×999
=997002；
（2）由于原式的絕對(duì)值共有1000項(xiàng)，最中間的那兩項(xiàng)是|x-500|和|x-501|，所以只需取x=500.5，它們的和就可以獲得最小值，原式可以展開為：
|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1000|，
=|500.5-1|+|500.5-2|+…+|500.5-998|+|500.5-999|+|500.5-1000|
=499.5+498.5+…+0.5+0.5+…+498.5+499.5
=2×（0.5+1.5+…+498.5+499.5）
=2×500×500×$\frac{1}{2}$
=250000．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合求最值問題，解答此題的關(guān)鍵是要明確：某點(diǎn)在a、b兩點(diǎn)之間時(shí)，該點(diǎn)到a、b的距離和最小．