Question

10．已知二次函數(shù)y=ax²-4ax+a²+2（a＜0）圖象的頂點(diǎn)G在直線AB上，其中
A（-$\frac{3}{2}$，0）、B（0，3），對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．
（1）求二次函數(shù)y=ax²-4ax+a²+2的關(guān)系式；
（2）點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，且AP平分四邊形GAEP的面積，求點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）在x軸上方，是否存在整數(shù)m，使得當(dāng)$\frac{m+2}{3}$＜x≤$\frac{2m+5}{2}$時(shí)，拋物線y隨x增大而增大？若存在，求出所有滿足條件的m值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AB的關(guān)系式，利用配方法可找出拋物線頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，a²-4a+2），根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出a值，將a值代入二次函數(shù)關(guān)系式中即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，-t²+4t+3），根據(jù)2S_△AEP=S_{四邊形GAEP}，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取大于2的值，將其再代入點(diǎn)P的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論；
（3）將y=0代入二次函數(shù)關(guān)系式中可求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合$\frac{m+2}{3}$＜x≤$\frac{2m+5}{2}$時(shí)拋物線y隨x增大而增大，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，找去其內(nèi)的整數(shù)，再根據(jù)$\frac{m+2}{3}$＜$\frac{2m+5}{2}$即可確定m的值．

解答 解（1）設(shè)直線AB的關(guān)系式為y=kx+b，
將點(diǎn)A（-$\frac{3}{2}$，0）、B（0，3）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AB的關(guān)系式為y=2x+3．
∵拋物線y=ax²-4ax+a²+2=a（x-2）²+a²-4a+2，
∴點(diǎn)G（2，a²-4a+2）．
∵點(diǎn)G在直線AB上，
∴a²-4a+2=4+3=7，
∴a=-1，a=5（舍去），
∴二次函數(shù)關(guān)系式為y=-x²+4x+3．

（2）∵AP平分四邊形GAEP的面積，
∴2S_△AEP=S_{四邊形GAEP}．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，-t²+4t+3），
∴2×$\frac{1}{2}$×（2+$\frac{3}{2}$）（-t²+4t+3）=$\frac{1}{2}$×7×（2+$\frac{3}{2}$）+$\frac{1}{2}$×7×（t-2），
整理得：2t²-6 t-3=0，
解得：t₁=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，t₂=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，6+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

（3）當(dāng)y=-x²+4x+3=0時(shí)，x₁=2-$\sqrt{7}$，x₂=2+$\sqrt{7}$，
∴拋物線與x軸交點(diǎn)C（2-$\sqrt{7}$，0），D（2+$\sqrt{7}$，0）．
∵在x軸上方，拋物線y隨x增大而增大，
∴2-$\sqrt{7}$＜x≤2．
又∵$\frac{m+2}{3}$＜x≤$\frac{2m+5}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+2}{3}≥2-\sqrt{7}}\\{\frac{2m+5}{2}≤2}\end{array}\right.$，
解得：4-3$\sqrt{7}$≤m≤-$\frac{1}{2}$．
∵整數(shù)m為整數(shù)，
∴m為-3，-2、-1．
又∵$\frac{m+2}{3}$＜$\frac{2m+5}{2}$，
∴m＞-$\frac{11}{4}$，
∴m取-2、-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的三種形式、二次函數(shù)的性質(zhì)、拋物線與x軸的交點(diǎn)以及三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出關(guān)于a的一元二次方程；（2）根據(jù)AP平分四邊形GAEP的面積，找出關(guān)于t的一元二次方程；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖象，找出關(guān)于m的一元一次不等式組．