Question

15．如圖，A、B是雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上的點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是a、2a，線段AB的延長線交x軸于點(diǎn)C，若S_△ADC=9，則k=6．

Answer 1

分析 先作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，根據(jù)得A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得縱坐標(biāo)，再證明△CEB∽△CDA，利用相似三角形的性質(zhì)得出DE=CE，由OD：OE=a：2a=1：2，得出OD=DE，所以D是OC的三等分點(diǎn)，進(jìn)而得到S_△AOD=$\frac{1}{3}$S_△AOC=3，然后利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，求得k的值．

解答 解：如圖，作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，
∵A、B是雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上的點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是a、2a，
∴A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是$\frac{k}{a}$、$\frac{k}{2a}$，
∵AD∥BE，
∴△CEB∽△CDA，
∴$\frac{CE}{CD}$=$\frac{BE}{AD}$=$\frac{\frac{k}{2a}}{\frac{k}{a}}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=CE，
∵OD：OE=a：2a=1：2，
∴OD=DE，
∴OD=$\frac{1}{3}$OC，
∴S_△AOD=$\frac{1}{3}$S_△AOC=$\frac{1}{3}$×9=3，
∴$\frac{1}{2}$|k|=3，即k=±6，
而k＞0，
∴k=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評 本題主要考查了反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)注意：從反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|．