Question

9．如圖，在△ABC中．∠A=30°，AC=8，BC=5．以直線AB為軸，將△ABC旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體，求這個旋轉(zhuǎn)體的全面積．

Answer 1

分析 以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個由兩個底面相同的圓錐組成的幾何體，作CD⊥AB，則CD為幾何體的底面圓的半徑，如圖，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計算出CD=4，利用勾股定理求得BD=3，然后利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式計算兩個圓錐的側(cè)面積的和即可．

解答 解：作CD⊥AB，則CD為幾何體的底面圓的半徑，如圖，

在Rt△ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=3，
∴以AC為母線的圓錐的側(cè)面積=$\frac{1}{2}$×2π×4×8=32π；
以BC為母線的圓錐的側(cè)面積=$\frac{1}{2}$×2π×4×5=20π，
∴這個幾何體的全面積=32π+20π=52π．

點評 本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．