Question

15．二次函數(shù)y=（x-1）²+k分別與x軸、y軸交于A、B、C三點，點A在點B的左側(cè)，直線y=-$\frac{2}{3}$x+2經(jīng)過點B，且與y軸交于點D．
（1）如圖1，求k的值；
（2）如圖2，在第一象限的拋物線上有一動點P，連接AP，過P作PE⊥x軸于點E，過E作EF⊥AP于點F，過點D作平行于x軸的直線分別與直線FE、PE交于點G、H，設(shè)點P的橫坐標為t，線段GH的長為d，求d與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過點G作平行于y軸的直線分別交AP、x軸和拋物線于點M、T和N，tan∠MEA=$\frac{3}{2}$，點K為第四象限拋物線上一點，且在對稱軸左側(cè)，連接KA，在射線KA上取一點R，連接RM，過點K作KQ⊥AK交PE的延長線于Q，連接AQ、HK，若∠RAE-∠RMA=45°，△AKQ與△HKQ的面積相等，求點R的坐標．

Answer 1

分析 （1）由一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求得點B的坐標，然后把點B的坐標代入函數(shù)解析式即可求得k的值；
（2）如答圖1，根據(jù)垂直的定義和同角的余角相等推知∠PEF=∠PAE．結(jié)合矩形DOEH的性質(zhì)得到：HE=2．所以，根據(jù)三角函數(shù)的定義推知：$\fracsy46yqs{HE}$=$\frac{PE}{AE}$，即$\fracoaegycm{2}$=$\frac{（t-1）^{2}-4}{t+1}$．由此得到答案；
（3）利用（2）中求得的函數(shù)關(guān)系式，矩形的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義易得P（4，5）．M（2，3）．由二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求得N（2，-3），作HW⊥KQ，過R作RL⊥x軸，構(gòu)建矩形AKWH，全等三角形：△RAM≌△HAN，△ARL≌△AHE．結(jié)合坐標與圖形的性質(zhì)得到R（-3，5）．由執(zhí)行直線MRy=$\frac{5}{2}$x-2，直線AK的解析式y(tǒng)=-$\frac{5}{2}$x-$\frac{5}{2}$求得交點R（-$\frac{1}{10}$，$\frac{9}{4}$）．

解答 解：（1）在一次函數(shù)y=-$\frac{2}{3}$x+2中，令y=0，得：0=-$\frac{2}{3}$x+2，
解得x=3，
∴B（3，0）．
令x=0得y=2，
∴D（0，2）．
將B（3，0），代入y=（x-1）²+k得：4+k=0，
∴k=-4．

（2）如答圖1所示：

∵PE⊥x軸，EF⊥AP，
∴∠PEA=∠EFA=90°
∵∠PEF+∠FEA=90°，∠PAE+∠FEA=90°
∴∠PEF=∠PAE．
∵DH∥x軸   HE⊥x軸
∴∠HDO=∠DOE=∠PEO=90°
∴四邊形DOEH為矩形．
∴HE=2．
∴$\frac4e0igq0{HE}$=$\frac{PE}{AE}$，
∴$\frac6ogi4q6{2}$=$\frac{（t-1）^{2}-4}{t+1}$．
∴d=2t-6．（t＞3）．

（3）∵∠TGH=∠GTE=∠TEH=90°，
∴GHET為矩形．
∴GH=d=ET=2t-6．
∵tan∠MEB=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{MT}{ET}$=$\frac{3}{2}$，
∴MT=3t-9．
∵$\frac{MT}{AT}$=$\frac{PE}{AE}$．
∴$\frac{3（t-3）}{t+1-（2t-6）}$=$\frac{（t-1）^{2}-4}{t+1}$，
解得t=4．
∴P（4，5）．
∴AT=AE-ET=t+1-（2t-6）=7-t=3．
∴M（2，3）
把x=2代入y=x²-2x-3中，得N（2，-3）

∴MT=TN=AT，∠MAT=90°．
∵∠RAE-∠RMA=45°，
∴∠RAE-45°=∠RMA，
∴∠RAM=∠RMA，
∵S_△AKQ=S_△HKQ，作HW⊥KQ．
∴AK∥HW，AK=HW，
∴四邊形AKWH是矩形，
∴∠RAH=∠HAK=90°，
∴∠RAM=∠HAN．
∵A（-1，0），H（4，2），N（2，-3），
∴AH=HN=$\sqrt{29}$，
∴∠HAN=∠HNA=∠RAM=∠RMA．
 又∵AM=AN，
∴△RAM≌△HAN，
∴AR=AH．
過R作RL⊥x軸，
∴∠RLA=∠AEH=90°，
∵∠RAL+∠HAE=90，∠HAE+∠AHE=90，
∴∠RAL=∠AHE，
∴△ARL≌△AHE．
∴RL=AE=5，AL=HE=3
∴R（-3，5）．
由∠RAM-∠RMA=45°可知∠RAV=∠RVA，∠RMT=∠HAE，tan∠RMT=tan∠HAE=$\frac{2}{5}$，V（$\frac{4}{5}$，0），
直線MR的解析式為y=$\frac{5}{2}$x-2，直線AK的解析式為y=-$\frac{5}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
交點R（-$\frac{1}{10}$，$\frac{9}{4}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題．需要掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)等知識點，難度較大，注意題中輔助線的作法．