Question

6．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E、F分別是邊AD、AB的中點，點P是BC延長線上一點，且EP⊥EB，過點F作FH∥BP，分別交EB、EP于G、H兩點，將△EGH繞點E逆時針旋轉α（0°＜α＜90°），得到△EMN（M、N分別是G、H的對應點），使直線MN恰好經(jīng)過點B．
（1）求BP的長；
（2）△EBM與△EPN相似嗎？說明理由；
（3）求旋轉角α的大�。�（只耍求出α的某一個三角函數(shù)值即可）

Answer 1

分析 （1）只要證明△ABE∽△EPB，推出$\frac{BE}{PB}$=$\frac{AE}{BE}$，即可解決問題；
（2）結論：△EBM∽△EPN．設BN交PE于O，由FH∥BP，推出∠EHF=∠EPB=∠ENO，由∠EON=∠BOP，推出△EON∽△BOP，推出$\frac{EO}{OB}$=$\frac{ON}{OP}$，即$\frac{EO}{ON}$=$\frac{OB}{OP}$，即可推出△EOB∽△NOP，推出∠EBM=∠EPN，再證明∠BEM=∠PEN，即可解決問題；
（3）∠OEN是旋轉角，∠OEN=∠OBP，可知cos∠OEN=cos∠PBN=$\frac{BN}{PB}$，由此想辦法求出BN即可；

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠ABC=90°，
∵∠BEP=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，∴∠EBP+∠ABE=90°，
∴∠AEB=∠PBE，∵∠A=∠BEP=90°，
∴△ABE∽△EPB，
∴$\frac{BE}{PB}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{PB}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴PB=10．

（2）結論：△EBM∽△EPN．
理由：設BN交PE于O，
∵FH∥BP，
∴∠EHF=∠EPB=∠ENO，∵∠EON=∠BOP，
∴△EON∽△BOP，
∴$\frac{EO}{OB}$=$\frac{ON}{OP}$，
∴$\frac{EO}{ON}$=$\frac{OB}{OP}$，∵∠EOB=∠PON，
∴△EOB∽△NOP，
∴∠EBM=∠EPN，
∵∠BEP=∠MEN=90°，
∴∠BEM=∠PEN，
∴△EBN∽△EPN．

（3）作EQ⊥NM于Q，
∵AF=BF，F(xiàn)H∥BC∥AD，
∴EG=BG=$\sqrt{5}$，
∵△EGH∽△AEB，
∴$\frac{EG}{EH}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴EH=2EG=2$\sqrt{5}$，
∴EM=EG=$\sqrt{5}$EN=EH=2$\sqrt{5}$，
∴MN=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$•EM•EN=$\frac{1}{2}$•MN•EQ，
∴EQ=2，
∴EA=EQ，∵BE=BE，
∴△ABE≌△QBE，
∴AB=BQ=4，
∵NQ=$\sqrt{E{N}^{2}-E{Q}^{2}}$=4，
∴BN=BQ+NQ=8，
∵∠OEN是旋轉角，∠OEN=∠OBP，
∴cos∠OEN=cos∠PBN=$\frac{BN}{PB}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查相似三角形綜合題、正方形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會添加常用輔助線，求出EQ的長是關鍵，屬于中考壓軸題．