Question

1．如圖，在△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{3}$，∠BAC=120°，點(diǎn)D、E都在邊BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，則DE的長(zhǎng)為3$\sqrt{3}$-3．

Answer 1

分析 （方法一）將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACF，連接EF，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥CF于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC于點(diǎn)N，由AB=AC=2$\sqrt{3}$、∠BAC=120°，可得出BC=6、∠B=∠ACB=30°，通過(guò)角的計(jì)算可得出∠FAE=60°，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證出△ADE≌△AFE（SAS），進(jìn)而可得出DE=FE，設(shè)CE=2x，則CM=x，EM=$\sqrt{3}$x、FM=4x-x=3x、EF=ED=6-6x，在Rt△EFM中利用勾股定理可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再將其代入DE=6-6x中即可求出DE的長(zhǎng)．
（方法二）將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACF，取CF的中點(diǎn)G，連接EF、EG，由AB=AC=2$\sqrt{3}$、∠BAC=120°，可得出∠ACB=∠B=30°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出∠ECG=60°，結(jié)合CF=BD=2CE可得出△CEG為等邊三角形，進(jìn)而得出△CEF為直角三角形，通過(guò)解直角三角形求出BC的長(zhǎng)度以及證明全等找出DE=FE，設(shè)EC=x，則BD=CD=2x，DE=FE=6-3x，在Rt△CEF中利用勾股定理可得出FE=$\sqrt{3}$x，利用FE=6-3x=$\sqrt{3}$x可求出x以及FE的值，此題得解．

解答 解：（方法一）將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACF，連接EF，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥CF于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC于點(diǎn)N，如圖所示．
∵AB=AC=2$\sqrt{3}$，∠BAC=120°，
∴BN=CN，∠B=∠ACB=30°．
在Rt△BAN中，∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴AN=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，BN=$\sqrt{A{B}^{2}-A{N}^{2}}$=3，
∴BC=6．
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．
在△ADE和△AFE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠DAE=∠FAE=60°}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE=FE．
∵BD=2CE，BD=CF，∠ACF=∠B=30°，
∴設(shè)CE=2x，則CM=x，EM=$\sqrt{3}$x，F(xiàn)M=4x-x=3x，EF=ED=6-6x．
在Rt△EFM中，F(xiàn)E=6-6x，F(xiàn)M=3x，EM=$\sqrt{3}$x，
∴EF²=FM²+EM²，即（6-6x）²=（3x）²+（$\sqrt{3}$x）²，
解得：x₁=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，x₂=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$（不合題意，舍去），
∴DE=6-6x=3$\sqrt{3}$-3．
故答案為：3$\sqrt{3}$-3．
（方法二）：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACF，取CF的中點(diǎn)G，連接EF、EG，如圖所示．
∵AB=AC=2$\sqrt{3}$，∠BAC=120°，
∴∠ACB=∠B=∠ACF=30°，
∴∠ECG=60°．
∵CF=BD=2CE，
∴CG=CE，
∴△CEG為等邊三角形，
∴EG=CG=FG，
∴∠EFG=∠FEG=$\frac{1}{2}$∠CGE=30°，
∴△CEF為直角三角形．
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．
在△ADE和△AFE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠DAE=∠FAE=60°}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE=FE．
設(shè)EC=x，則BD=CD=2x，DE=FE=6-3x，
在Rt△CEF中，∠CEF=90°，CF=2x，EC=x，
EF=$\sqrt{C{F}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，
∴6-3x=$\sqrt{3}$x，
x=3-$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{3}$x=3$\sqrt{3}$-3．
故答案為：3$\sqrt{3}$-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解一元二次方程以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過(guò)勾股定理找出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．