Question

14．為測量底面為圓形的古塔的高度，以下是小明與小紅的研究報告：

	小明的研究報告	小紅的研究報告
測量圖例
測量過程	如圖，測角儀AB、CD的高度均為1.6m，分別測得古塔頂端的仰角為17°、45°，測角儀底端的距離（BD）為69m．	如圖，測角儀EF的高度為1.6m，測得古塔頂端的仰角為35°，測角儀所在位置與古塔底部邊緣的最短距離（FG）為38.3m．
參考數(shù)據(jù)	sin17°≈0.29，cos17°≈0.96， tan17°≈0.31，$\sqrt{2}$≈1.41	sin35°≈0.57，cos35°≈0.82， tan35°≈0.70
數(shù)據(jù)處理	32.6	PQ=38.3×tan35°+1.6≈28.41（m）

（1）寫出小明的研究報告中“數(shù)據(jù)處理”的詳細過程；
（2）指出小紅研究報告中的錯誤之處；
（3）利用兩人的測量數(shù)據(jù)，直接寫出古塔底面圓的半徑（結果精確到1m）．

Answer 1

分析 （1）延長AC交PQ于點E．則AE⊥PQ，在直角△PCE和直角△PAE中利用PE表示出AE和CE的長，然后根據(jù)AC=AE-CE列方程求得PE的長，則PQ即可求得；
（2）根據(jù)解直角三角形和三角函數(shù)的定義判斷；
（3）作EM⊥PQ于點M，在EM上取點C，使∠PCM=45°，求得FQ的長，根據(jù)半徑GQ=FQ-FG求解．

解答 解：（1）延長AC交PQ于點E．則AE⊥PQ．（圖1）．
設PE=xm，
∵在Rt△PCE中，∠PCE=45°，
∴PE=CE=xm．
在Rt△APE中，tan∠PAE=$\frac{PE}{AE}$，
則AE=$\frac{PE}{tan∠PAE}$=$\frac{x}{tan15°}$=$\frac{x}{0.31}$，
又∵AE-CE=AC=BD，
∴$\frac{x}{0.31}$-x=69，
解得x=31，
則PQ=PE+EQ=PE+AB=31+1.6=32.6（m）．
故答案是：32.6；
（2）錯誤的原因：PG與地面不垂直；
（3）作EM⊥PQ于點M，在EM上取點C，使∠PCM=45°，（圖2）
則PM=CM=31（m），
在直角△PEM中，EM=$\frac{PM}{tan35°}$=$\frac{31}{tan35°}$=$\frac{31}{0.7}$≈44.3（m）．
則FQ=EM=44.3（m）．
∴GQ=44.4-38.3=6（m）．
答：古塔底面圓的半徑是6m．

點評 本題主要考查解直角三角形的應用，本題要求學生借助仰角關系構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．