Question

15．如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC中BC邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AC=CD，以AB為直徑作⊙O，分別交邊AC、BC于點(diǎn)E、點(diǎn)F．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）連接OC，交⊙O于點(diǎn)G，若AB=8，求線段CE、CG與GE圍成的陰影部分的面積S．

Answer 1

分析 （1）欲證明AD是⊙O的切線，只要證明AD⊥AB即可；
（2）根據(jù)S_陰=S_△OEC-S_扇形OEG，只要證明AE=EC，推出S_△OEC=S_△AOE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•4²=4$\sqrt{3}$即可解決問題；

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵CA=CD，
∴∠D=∠CAD，
∵∠ACB=∠D+∠CAD，
∴∠CAD=30°，
∴∠BAD=60°+30°=90°，
∴DA⊥BA，
∴AD是⊙O的切線．

（2）解：連接OE，
∵OA=OE，∠OAE=60°，
∴△OAE是等邊三角形，
∴AE=AO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC，
∴AE=EC，
∴S_△OEC=S_△AOE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•4²=4$\sqrt{3}$，
∵CA=CB，OA=OB，
∴CO⊥AB，
∴∠AOC=90°，
∴∠EOG=30°，
∴S_扇形OEG=$\frac{30•π•{4}^{2}}{360}$=$\frac{4π}{3}$，
∴S_陰=S_△OEC-S_扇形OEG=4$\sqrt{3}$-$\frac{4π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)、扇形的面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用分割法求陰影部分面積，屬于中考常考題型．