Question

6．如圖，已知△ABC中，AB=AC，tanB=2，AD⊥BC于點D，G是△ABC的重心，將△ABC繞著重心G旋轉(zhuǎn)，得到△A₁B₁C₁，并且點B₁在直線AD上，聯(lián)結(jié)CC₁，那么tanCC₁B₁的值等于$\frac{\sqrt{13}-2}{3}$或$\frac{\sqrt{13}+2}{3}$．

Answer 1

分析 分類討論：當△ABC繞著重心G逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A₁B₁C₁，如圖1，設(shè)GD=x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD，再根據(jù)重心的性質(zhì)得AG=2GD=2x，則AD=AG+DG=3x，在Rt△ABD中，利用正切定義得到BD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3}{2}$x，則CD=$\frac{3}{2}$x，接著根據(jù)勾股定理計算出CG=$\frac{\sqrt{13}}{2}$x，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BGD=∠DGD₁，GD=GD₁=x，C₁D₁=CD=$\frac{3}{2}$x，由于而GD⊥BC，所以GD₁⊥B₁C₁，點D₁在CG上，于是可得CD₁=CG-GD₁=$\frac{\sqrt{13}-2}{2}$x，則在Rt△CC₁D₁中，利用正切的定義得到tan∠CC₁D₁=$\frac{C{D}_{1}}{{C}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{13}-2}{3}$；當△ABC繞著重心G順時針旋轉(zhuǎn)得到△A₁B₁C₁，如圖2，設(shè)DG=x，與前面一樣，可求得GD₁=GD=x，C₁D₁=CD=$\frac{3}{2}$x，則CD₁=$\frac{\sqrt{13}+2}{2}$x，
在Rt△CC₁D₁中，利用正切定理得到tan∠CC₁D₁=$\frac{C{D}_{1}}{{C}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{13}+2}{3}$．

解答 解：當△ABC繞著重心G逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A₁B₁C₁，如圖1，設(shè)GD=x，
∵AB=AC，AD⊥BC于點D，
∴BD=CD，
∴重心G在AD上，
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GD=2x，
∴AD=AG+DG=3x，
在Rt△ABD中，∵tanB=$\frac{AD}{BD}$=2，
∴BD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3}{2}$x，
∴CD=$\frac{3}{2}$x，
在Rt△CDG中，CG=$\sqrt{D{G}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$x，
∵△ABC繞著重心G旋轉(zhuǎn)，得到△A₁B₁C₁，并且點B₁在直線AD上，
∴∠BGD=∠DGD₁，GD=GD₁=x，C₁D₁=CD=$\frac{3}{2}$x，
而GD⊥BC，
∴GD₁⊥B₁C₁，點D₁在CG上，
∴CD₁=CG-GD₁=$\frac{\sqrt{13}}{2}$x-x=$\frac{\sqrt{13}-2}{2}$x，
在Rt△CC₁D₁中，tan∠CC₁D₁=$\frac{C{D}_{1}}{{C}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{\frac{\sqrt{13}-2}{2}x}{\frac{3}{2}x}$=$\frac{\sqrt{13}-2}{3}$；
當△ABC繞著重心G順時針旋轉(zhuǎn)得到△A₁B₁C₁，如圖2，設(shè)DG=x，
與前面一樣，可求得GD₁=GD=x，C₁D₁=CD=$\frac{3}{2}$x，則CD₁=$\frac{\sqrt{13}}{2}$x+x=$\frac{\sqrt{13}+2}{2}$x，
在Rt△CC₁D₁中，tan∠CC₁D₁=$\frac{C{D}_{1}}{{C}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{\frac{\sqrt{13}+2}{2}x}{\frac{3}{2}x}$=$\frac{\sqrt{13}+2}{3}$，
綜上所述，tanCC₁B₁的值等于$\frac{\sqrt{13}-2}{3}$或$\frac{\sqrt{13}+2}{3}$．
故答案為$\frac{\sqrt{13}-2}{3}$或$\frac{\sqrt{13}+2}{3}$．

點評 本題考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點．重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解直角三角形．