Question

17．如圖所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．
（1）若∠ABP=25°，求∠BPH的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH，由平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC，得出∠APB=∠BPH，即可得出結(jié)果；
（2）過B作BQ⊥PH，垂足為Q；首先證明△ABP≌△QBP，進(jìn)而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．

解答 解：（1）∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB，
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP，
即∠PBC=∠BPH，
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC，
∴∠APB=∠BPH，
∵∠ABP=25°，
∴∠APB=65°
∴∠BPH=65°．
（2）△PHD的周長(zhǎng)不變，為定值8．理由如下：
過B作BQ⊥PH，垂足為Q；如圖所示：
由（1）知∠APB=∠BPH，
在△ABP和△QBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠BPH}\\{∠A=∠BQP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△QBP（AAS）．
∴AP=QP，AB=QB．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
在Rt△BCH和Rt△BQH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=BH}\\{BC=BQ}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL）．
∴CH=QH．
∴△PHD的周長(zhǎng)=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握翻折變換和正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．