Question

5．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，弦CE交AB于F，過(guò)E作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于D．
（1）求證：DE=DF；
（2）連接AE、AC，若OF=1，OA=3，求S_△ACE．

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質(zhì)得出∠CED=∠CAE，進(jìn)而結(jié)合三角形的外角性質(zhì)得出∠CED=∠DFE，求出即可；
（2）利用切線的性質(zhì)以及勾股定理得出DO的長(zhǎng)，進(jìn)而利用S_△ACE=S_△ACF+S_△AFE求出即可．

解答 （1）證明：∵AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，
∴∠AEC=∠CAB=45°
∵DE為⊙O的切線，
∴∠CED=∠CAE，
即∠CED=∠CAB+∠BAE=45°+∠BAE，
∵∠DFE為△AEF的外角，
∴∠DEF=∠AEC+∠BAE=45°+∠BAE，
∴∠CED=∠DFE，
∴DE=DF；

（2）解：連接CO，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，連接EO，
∵點(diǎn)C為$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，
∴∠AOC=∠COB=90°，即CO⊥AF，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}•AF•CO=\frac{1}{2}×4$×3=6，
∵AO=3，∴AB=6，AF=4，
∴BF=2，
∵DE=DF，
設(shè)DE=DF=x，
∵DE是⊙O的切線，則OE⊥DE，
故在Rt△OED中，EO²+DE²=DO²，
則3²+x²=（x+1）²，
解得：x=4，
故EH×DO=EO×ED，
即5EH=3×4，
解得：EH=2.4，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$×AF×EH=$\frac{1}{2}$×4×2.4=4.8，
故S_△ACE=S_△ACF+S_△AFE=6+4.8=10.8．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)S_△ACE=S_△ACF+S_△AFE得出是解題關(guān)鍵．