Question

3．如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，AE=1，ED=2．
（1）求AB的長．
（2）延長DB到F，使得BF=BO，求證：直線FA與⊙O相切．

Answer 1

分析 （1）先證明△ABE∽△ADB，利用相似三角形的性質可求得AB的長；
（2）連接OA，在Rt△ABD中可求得BD，可證明△AOB為等腰三角形，結合BF=BO可證明∠OAF=90°，證得結論．

解答 （1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADB，∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{AB}$，
∵AE=1，DE=2，
∴AD=AE+DE=3，
∴$\frac{AB}{3}$=$\frac{1}{AB}$，解得AB=$\sqrt{3}$；
（2）證明：如圖，連接OA，

∵BD為直徑，
∴△ABD為直角三角形，
在Rt△ABD中，AB=$\sqrt{3}$，AD=3，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=BO=AO，
∴∠BAO=60°，
∵BF=BO，
∴BF=AB，
∴∠BAF=∠F=$\frac{1}{2}$∠OBA=30°，
∴∠OAF=∠OAB+∠BAF=90°，
又∵∠ADB=∠AOB，
∴直線FA與⊙O相切．

點評 本題主要考查切線的判定及相似三角形的判定和性質的應用，掌握切線的判定方法是解題的關鍵，即有切點時連接圓心和切點，然后證明垂直，沒有切點時，過圓心作垂直，證明圓心到直線的距離等于半徑．