Question

15．如圖，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于點(diǎn)C，若OC=1，則PC的長是2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延長CP，與OA交于點(diǎn)Q，過P作PD⊥OA，利用角平分線定理得到PD=PC，在直角三角形OQC中，利用銳角三角函數(shù)定義求出QC的長，在直角三角形QDP中，利用銳角三角函數(shù)定義用PD（即PC）表示出PQ，由QP+PC=QC，求出PC的長即可．

解答 解：延長CP，與OA交于點(diǎn)Q，過P作PD⊥OA，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PC⊥OB，
∴PD=PC，
在Rt△QOC中，∠AOB=30°，OC=1，
∴QC=OCtan30°=1×$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠APD=30°，
在Rt△QPD中，cos30°=$\frac{DP}{PQ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即PQ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$PC，
∴QC=PQ+PC，即$\frac{2\sqrt{3}}{3}$PC+PC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：PC=2-$\sqrt{3}$．
故答案為：2-$\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 此題考查了含30度直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．