Question

18．如圖，點(diǎn)C是半徑長為3的⊙O上任意一點(diǎn)，AB為直徑，AC=3，過點(diǎn)C作⊙O的切線DC，點(diǎn)P為⊙O優(yōu)弧AC上不與A、C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以每秒π個(gè)單位的速度順時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求∠DCA的度數(shù)；
（2）填空；
①當(dāng)t=1s時(shí)，四邊形OBPC是菱形；
②當(dāng)t=3s時(shí)，由點(diǎn)A、P、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△ABC全等．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCD=90°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）①當(dāng)t=1s時(shí)，四邊形OBPC是菱形；連接OP，根據(jù)弧長公式得到∠COP=60°，得到∠BOP=60°，推出△COP與△BOP是等邊三角形，得到PC=PB=OB=OC，于是得到結(jié)論；
②當(dāng)t=3s時(shí)，由點(diǎn)A、P、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△ABC全等，根據(jù)弧長公式得到∠COP=180°，推出C，O，P三點(diǎn)共線，得到CP=AB，∠P′=∠B，根據(jù)全等三角形的判定即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵CD是⊙O的切線，
∴∠OCD=90°，
∵AC=OA=OC=3，
∴∠ACO=60°，
∴∠DCA=30°；

（2）①當(dāng)t=1s時(shí)，四邊形OBPC是菱形；
如圖，1，連接OP，
∵t=1s，
∴$\widehat{PC}$的長度=π，
設(shè)∠POC=α，
∴$\frac{α•π×3}{180}$=π，
∴α=60°，
∴∠COP=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△COP與△BOP是等邊三角形，
∴PC=OC=OP=PB，
∴PC=PB=OB=OC，
∴四邊形OBPC是菱形；
②當(dāng)t=3s時(shí)，由點(diǎn)A、P、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△ABC全等，
∵t=3s，
設(shè)∠COP=α，
∴$\widehat{CP}$的長=$\frac{α•π×3}{180}$=3π，
∴α=180°，
∴C，O，P三點(diǎn)共線，如圖2，
∴CP=AB，∠P′=∠B，
在△ABC與△CP′A中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠CAP′}\\{∠B=∠P′}\\{AB=CP′}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CP′A．
故答案為：1，3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．