Question

6．如圖1，直線l：y=x+$\sqrt{3}$與x軸負半軸、y軸正半軸分別相交于A、C兩點，拋物線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+bx+c經(jīng)過點B（1，0）和點C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點Q是拋物線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+bx+c在第二象限內(nèi)的一個動點．
①如圖1，連接AQ、CQ，設(shè)點Q的橫坐標為t，△AQC的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
②連接BQ交AC于點D，連接BC，以BD為直徑作⊙I，分別交BC、AB于點E、F，連接EF，求線段EF的最小值，并直接寫出此時點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線的解析式得到點C（0，$\sqrt{3}$），把點B（1，0）與點C（0，$\sqrt{3}$）代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+bx+c，于是得到結(jié)論；
（2）①連接OQ，在直線y=x+$\sqrt{3}$中，令y=0，則x=-$\sqrt{3}$，得到點A（-$\sqrt{3}$，0），根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
②解直角三角形得到∠CBO=60°，作直徑ET交⊙I于點T，連接FT，則∠EFT=90°，得到EF=ET•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ET，當BD⊥AC時，此時直徑BD最小，即直徑ET最小，EF的值最小，推出∠CAO=45°，在Rt△ADB中，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）在直線y=x+$\sqrt{3}$中，令x=0，則y=$\sqrt{3}$，
∴點C（0，$\sqrt{3}$），
把點B（1，0）與點C（0，$\sqrt{3}$）代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+bx+c，得：$\left\{\begin{array}{l}c=\sqrt{3}\\-\frac{{\sqrt{3}}}{3}+b+c=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}b=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\\ c=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；

（2）①連接OQ，在直線y=x+$\sqrt{3}$中，令y=0，則x=-$\sqrt{3}$，
∴點A（-$\sqrt{3}$，0），
∵S_△AQC=S_△AOQ+S_△OCQ-S_△AOC，
∴S=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}$（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$）+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$•（-t）-$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$，
∴S=-$\frac{1}{2}$t²-$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$t，即S=0$\frac{1}{2}$（t+$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$）²+$\frac{7+4\sqrt{3}}{8}$，（-3＜t＜0）．
∴當t=-$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$時，${S_{最大值}}=\frac{{7+4\sqrt{3}}}{8}$；
②∵點B（1，0），C（0，$\sqrt{3}$），∴OB=1，OC=$\sqrt{3}$，．
在Rt△BOC中，tan∠CBO=$\frac{OC}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠CBO=60°，
作直徑ET交⊙I于點T，連接FT，則∠EFT=90°，
又∠FTE=∠CBO=60°，sin∠FTE=$\frac{EF}{ET}$，EF=ET•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ET，
當BD⊥AC時，此時直徑BD最小，即直徑ET最小，EF的值最小，
在Rt△AOC中，OA=OC=$\sqrt{3}$，
∴∠CAO=45°，
在Rt△ADB中，BD=AB•sin∠CAO=ABsin45°=|1-（-$\sqrt{3}$）|sin45°=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ET=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{4}$，
此時點Q的坐標為（$\sqrt{3}$-3，4-$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)和最大值，解直角三角形，三角形的面積的計算，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．