Question

3．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-8，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為$（{-\frac{7}{4}，0}）$，直線(xiàn)y=$\frac{3}{4}$x+b過(guò)點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，以點(diǎn)P為圓心，以PA為半徑的圓交x軸于點(diǎn)C．
（1）判斷點(diǎn)B是否在⊙P上？說(shuō)明理由．
（2）求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；并求拋物線(xiàn)與⊙P另外一個(gè)交點(diǎn)為D的坐標(biāo)．
（3）⊙P上是否存在一點(diǎn)Q，使以A、P、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-8，0）代入y=$\frac{3}{4}$x+b得到點(diǎn)B（0，6），即OB=6，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）AC=2PA=$\frac{25}{2}$，則OC=$\frac{9}{2}$，點(diǎn)C$（{\frac{9}{2}，0}）$，得到拋物線(xiàn)的解析式為y=-$\frac{1}{6}$x²-$\frac{7}{12}$x+6，直線(xiàn)x=$-\frac{7}{4}$是拋物線(xiàn)和圓P的對(duì)稱(chēng)軸，于是得到結(jié)論；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在⊙P上時(shí)，有PQ=PA=$\frac{25}{4}$，如圖1所示，假設(shè)AB為菱形的對(duì)角線(xiàn)，如圖2所示，假設(shè)AB、AP為菱形的鄰邊，如圖3所示，假設(shè) AB、BP為菱形的鄰邊，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵A（-8，0）在直線(xiàn)y=$\frac{3}{4}$x+b上，則有b=6，
∴點(diǎn)B（0，6），即OB=6，
在Rt△BOP中，由勾股定理得PB=$\sqrt{O{P^2}+O{B^2}}=\frac{25}{4}$，則PB=PA，
∴點(diǎn)B在⊙P上；
（2）AC=2PA=$\frac{25}{2}$，則OC=$\frac{9}{2}$，點(diǎn)C$（{\frac{9}{2}，0}）$，
拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A、C，則設(shè)所求拋物線(xiàn)為y=a（x+8）（x-$\frac{9}{2}$），代入點(diǎn)C$（{\frac{9}{2}，0}）$，則有a=$-\frac{1}{6}$，
拋物線(xiàn)的解析式為y=-$\frac{1}{6}$x²-$\frac{7}{12}$x+6，
直線(xiàn)x=$-\frac{7}{4}$是拋物線(xiàn)和圓P的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，由對(duì)稱(chēng)可得D$（{-\frac{7}{2}，6}）$；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在⊙P上時(shí)，有PQ=PA=$\frac{25}{4}$，
如圖1所示，假設(shè)AB為菱形的對(duì)角線(xiàn)，那么PQ⊥AB且互相平分，由勾股定理得PE=$\frac{15}{4}$，則2PE≠PQ，所以四邊形APBQ不是菱形．
如圖2所示，假設(shè)AB、AP為菱形的鄰邊，則AB≠AP，所以四邊形APQB不是菱形．
如圖3所示，假設(shè) AB、BP為菱形的鄰邊，則AB≠BP，所以四邊形AQPB不是菱形．
綜上所述，⊙P上不存在點(diǎn)Q，使以A、P、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，菱形 的判定定理，對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．