Question

5．在等腰△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O分別與AB，AC相交于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）分別延長CB，F(xiàn)D，相交于點(diǎn)G，∠A=60°，⊙O的半徑為6，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)證出∠A=∠ODB，得出OD∥AC，證出DF⊥OD，即可得出結(jié)論；
（2）證明△OBD是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BOD=60°，求出∠G=30°，由直角三角形的性質(zhì)得出OG=2OD=2×6=12，由勾股定理得出DG=6$\sqrt{3}$，陰影部分的面積=△ODG的面積-扇形OBD的面積，即可得出答案．

解答 （1）證明：連接OD，如圖所示：
∵AC=BC，OB=OD，
∴∠ABC=∠A，∠ABC=∠ODB，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DF是⊙O的切線；
（2）解：∵AC=BC，∠A=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴ABC=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠BOD=60°，
∵DF⊥OD，
∴∠ODG=90°，
∴∠G=30°，
∴OG=2OD=2×6=12，
∴DG=$\sqrt{3}$OD=6$\sqrt{3}$，
∴陰影部分的面積=△ODG的面積-扇形OBD的面積=$\frac{1}{2}$×6×6$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{6}^{2}}{360}$=18$\sqrt{3}$-6π．

點(diǎn)評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，是一道綜合題，難度中等．