Question

2．已知二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于A（0，3）、B（-3，0）、c（1，0）．若點(diǎn)P是二次函數(shù)的圖象上位于第二象限的點(diǎn)，過P作與y軸平行的直線與直線AB相交于點(diǎn)Q，則P點(diǎn)在何位置時，以線段BP、PO、OQ、QB圍成的凹四邊形的面積最大，并求最大值．

Answer 1

分析 設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+3）（x-1），把A（0，3）代入求出a即可得到拋物線的解析式為y=-x²-2x+3，再利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式y(tǒng)=x+3，設(shè)P（t，-t²-2t+3），Q（t，t+3），則PQ=-t²-3t，由于以線段BP、PO、OQ、QB圍成的凹四邊形的面積S=S_△PBQ+S_△PCQ，而兩三角形的高的和為3，所以S=$\frac{1}{2}$•（-t²-3t）•3=-$\frac{3}{2}$t²-$\frac{9}{2}$t，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答 解：設(shè)拋物線解析式為y=a（x+3）（x-1），
把A（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=-1，
所以拋物線的解析式為y=-（x+3）（x-1），即y=-x²-2x+3，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+m，
把A（0，3），B（-3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{-3k+m=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=3}\end{array}\right.$，
所以直線AB的解析式為y=x+3，
設(shè)P（t，-t²-2t+3），則Q（t，t+3），
所以PQ=-t²-2t+3-（t+3）=-t²-3t，
以線段BP、PO、OQ、QB圍成的凹四邊形的面積S=S_△PBQ+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$•（-t²-3t）•3=-$\frac{3}{2}$t²-$\frac{9}{2}$t，
當(dāng)t=-$\frac{-\frac{9}{2}}{2×（-\frac{3}{2}）}$=-$\frac{3}{2}$，S有最大值，最大值=$\frac{0-（-\frac{9}{2}）^{2}}{4×（-\frac{3}{2}）}$=$\frac{27}{8}$，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
即P點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）時，以線段BP、PO、OQ、QB圍成的凹四邊形的面積最大，最大值為$\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程；從二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）中可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x₁，0），（x₂，0）．也考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式和三角形面積公式．