Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-1，0），B（0，2），點(diǎn)C在x軸上，且∠ABC=90°．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠PAC=∠BCO？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0）（x＞0），可得AC=x+1，AB=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，由勾股定理可得（x+1）²=5+（$\sqrt{{x}^{2}+4}$），解方程可求x，進(jìn)一步得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法可求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；
（3）由∠PAC=∠BCO可得tan∠PAC=tan∠BCO，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），再分兩種情況：P點(diǎn)在x軸上方時(shí)；P點(diǎn)在x軸下方時(shí)；進(jìn)行討論可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0）（x＞0），則AC=x+1，AB=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，
由勾股定理可得（x+1）²=5+（$\sqrt{{x}^{2}+4}$）²，
解得x=4．
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）；
（2）設(shè)經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式為y=ax²+bx+c，
依題意有$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=2}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
故經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（3）∵∠PAC=∠BCO，
∴tan∠PAC=tan∠BCO，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），tan∠BCO=$\frac{1}{2}$，
P點(diǎn)在x軸上方時(shí)，y＞0，
tan∠PAC=$\frac{y}{x+1}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\\{\frac{y}{x+1}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
-x²+3x+4=x+1，
x²-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0，
∵y＞0，
∴x=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2）；
P點(diǎn)在x軸下方時(shí)；y＜0，x＞0，
tan∠PAC=-$\frac{y}{x+1}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\\{-\frac{y}{x+1}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
x²-3x-4=x+1，
x²-4x-5=0，
（x-5）（x+1）=0，
∵x＞0，
∴x=5，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，-3）．
綜上可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2）或（5，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、勾股定理、三角函數(shù)等．關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用，分類思想的應(yīng)用，涉及面較廣，要認(rèn)真對(duì)待．