Question

13．如圖，AB是⊙O的直徑，PB與⊙O相切于點(diǎn)B，連接PA交⊙O于點(diǎn)C，連接BC．
（1）求證：∠BAC=∠CBP；
（2）求證：PB²=PC•PA；
（3）當(dāng)AC=6，CP=3時(shí)，求sin∠PAB的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到∠ACB=∠ABP=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，PB與⊙O相切于點(diǎn)B，
∴∠ACB=∠ABP=90°，
∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠CBP=90°，
∴∠BAC=∠CBP；

（2）∵∠PCB=∠ABP=90°，
∠P=∠P，
∴△ABP∽△BCP，
∴$\frac{PB}{AP}=\frac{PC}{PB}$，
∴PB²=PC•PA；

（3）∵PB²=PC•PA，AC=6，CP=3，
∴PB²=9×3=27，
∴PB=3$\sqrt{3}$，
∴sin∠PAB=$\frac{PB}{AP}$=$\frac{3\sqrt{3}}{9}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角函數(shù)的定義，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．