Question

9．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=12．
（1）用尺規(guī)作圖的方法作AB的垂直平分線MN，分別交BC、AB于點M、N（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
（2）求第（1）題中的CM的長．

Answer 1

分析 （1）根據尺規(guī)作圖的方法，作AB的垂直平分線MN，分別交BC、AB于點M、N；
（2）根據線段垂直平分線的性質，得出∠BAM=∠B=30°，再根據等腰三角形的性質，即可得到∠CAM=90°，再根據含30度角的直角三角形的性質，得出MC=2AM=2BM，最后求得CM的長．

解答 解：（1）如圖所示，MN即為所求；


（2）如圖，連結AM，
∵MN是AB的垂直平分線，
∴MB=MA
∴∠BAM=∠B=30°，
∴∠AMC=30°+30°=60°，
又∵AB=AC，
∴∠C=∠B=30°，
∴∠CAM=180°-60°-30°=90°，
∵在Rt△ACM中，∠C=30°，
∴MC=2AM=2BM，
又∵BC=12，
∴3BM=12，即BM=4，
∴MC=2BM=8．

點評 本題主要考查了基本作圖，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質以及含30度角的直角三角形的性質的綜合應用，解題時注意：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．